الرياضيات المتناهية الأمثلة

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على متغيرات إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

اطرح $4 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

خطوة 1.1.2

انقُل $- 63$ .

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

خطوة 1.1.3

انقُل $- 24 y$ .

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

خطوة 1.1.4

انقُل $- 18 x$ .

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

خطوة 1.2

أضف $63$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

خطوة 1.3

أكمل المربع لـ $9 x^{2} - 18 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

خطوة 1.3.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.3.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.3.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

خطوة 1.3.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.3.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 9}{9}$

خطوة 1.3.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 9$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $- 9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

خطوة 1.3.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

خطوة 1.3.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

خطوة 1.3.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 1.3.3.2.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 1.3.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.2.1.1

ارفع $- 18$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.3.4.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

خطوة 1.3.4.2.1.3

اقسِم $324$ على $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

خطوة 1.3.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $9$ .

$e = 0 - 9$

خطوة 1.3.4.2.2

اطرح $9$ من $0$ .

$e = - 9$

خطوة 1.3.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

خطوة 1.4

استبدِل $9 x^{2} - 18 x$ بـ $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ في المعادلة $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

خطوة 1.5

انقُل $- 9$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $9$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

خطوة 1.6

أكمل المربع لـ $- 4 y^{2} - 24 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

خطوة 1.6.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.6.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

خطوة 1.6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

خطوة 1.6.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

خطوة 1.6.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

خطوة 1.6.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 12}{- 4}$

خطوة 1.6.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.2.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 12$ .

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

خطوة 1.6.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4$ .

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

خطوة 1.6.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

خطوة 1.6.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{1}$

خطوة 1.6.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$d = 3$

خطوة 1.6.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

خطوة 1.6.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.4.2.1.1

ارفع $- 24$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

خطوة 1.6.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 4$ .

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

خطوة 1.6.4.2.1.3

اقسِم $576$ على $- 16$ .

$e = 0 - - 36$

خطوة 1.6.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 36$ .

$e = 0 + 36$

خطوة 1.6.4.2.2

أضف $0$ و $36$ .

$e = 36$

خطوة 1.6.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ .

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

خطوة 1.7

استبدِل $- 4 y^{2} - 24 y$ بـ $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ في المعادلة $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

خطوة 1.8

انقُل $36$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $36$ إلى كلا الطرفين.

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

خطوة 1.9

بسّط $63 + 9 - 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

أضف $63$ و $9$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

خطوة 1.9.2

اطرح $36$ من $72$ .

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

خطوة 1.10

اقسِم كل حد على $36$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

خطوة 1.11

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد خطوط تقارب القطع الزائد.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

خطوة 4

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

خطوة 5

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

خطوة 5.2

بسّط $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

خطوة 5.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

خطوة 5.2.1.3

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

خطوة 5.2.1.4

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

خطوة 5.2.1.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

خطوة 5.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

خطوة 5.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

خطوة 5.2.5.2

اطرح $6$ من $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

خطوة 5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

خطوة 6

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

خطوة 6.2

بسّط $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

خطوة 6.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

خطوة 6.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

خطوة 6.2.1.4.2

اضرب $\frac{3}{2}$ في $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

خطوة 6.2.1.5

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

خطوة 6.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

خطوة 6.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.5.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

خطوة 6.2.5.2

اطرح $6$ من $3$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

خطوة 6.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

خطوة 7

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

خطوة 8

خطا التقارب هما $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ و $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ .

خطوط التقارب: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

خطوة 9