الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

خطوة 1

وسّع $(k + 1) (k + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

خطوة 1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

خطوة 1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

خطوة 2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اضرب $k$ في $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

خطوة 2.1.2

اضرب $k$ في $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

خطوة 2.1.3

اضرب $k$ في $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

خطوة 2.2

أضف $k$ و $k$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

خطوة 3

لكتابة $k^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

خطوة 4

اجمع $k^{2}$ و $\frac{6}{6}$ .

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

خطوة 6

أعِد ترتيب الحدود.

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

خطوة 7

أخرِج $\frac{1}{6}$ من كل حد.

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 8

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 9

اضرب $k$ في $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 10

اضرب $k$ في $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 11

وسّع $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.1.2

اضرب $k^{2}$ في $k$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.1

انقُل $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.1.2.2

اضرب $k$ في $k^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.2.2.1

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.1.3

اضرب $k^{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.1.5

اضرب $k$ في $k$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.5.1

انقُل $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.1.5.2

اضرب $k$ في $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.1.6

اضرب $k$ في $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 12.2

أضف $k^{2}$ و $2 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

خطوة 13

انقُل $6$ إلى يسار $k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

خطوة 14

أضف $12 k$ و $k$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

خطوة 15

أضف $3 k^{2}$ و $6 k^{2}$ .

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

خطوة 16

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أعِد كتابة $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

حلّل $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 16.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

خطوة 16.1.1.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

خطوة 16.1.1.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

خطوة 16.1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

خطوة 16.1.1.3.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

خطوة 16.1.1.3.5

اضرب $9$ في $1$ .

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

خطوة 16.1.1.3.6

أضف $- 2$ و $9$ .

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

خطوة 16.1.1.3.7

اضرب $13$ في $- 1$ .

$7 - 13 + 6$

خطوة 16.1.1.3.8

اطرح $13$ من $7$ .

$- 6 + 6$

خطوة 16.1.1.3.9

أضف $- 6$ و $6$ .

$0$

خطوة 16.1.1.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $k + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

خطوة 16.1.1.5

اقسِم $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ على $k + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

خطوة 16.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 k^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $k$ .

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

خطوة 16.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

خطوة 16.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 k^{3} + 2 k^{2}$

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

خطوة 16.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

خطوة 16.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

خطوة 16.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $7 k^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

خطوة 16.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

خطوة 16.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $7 k^{2} + 7 k$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

خطوة 16.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

خطوة 16.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

خطوة 16.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $6 k$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $k$ .

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

خطوة 16.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

خطوة 16.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $6 k + 6$

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

خطوة 16.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

خطوة 16.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$2 k^{2} + 7 k + 6$

خطوة 16.1.1.6

اكتب $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ في صورة مجموعة من العوامل.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

خطوة 16.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ ومجموعهما $b = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.2.1.1.1

أخرِج العامل $7$ من $7 k$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

خطوة 16.1.2.1.1.2

أعِد كتابة $7$ في صورة $3$ زائد $4$

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

خطوة 16.1.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

خطوة 16.1.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

خطوة 16.1.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

خطوة 16.1.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 k + 3$ .

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

خطوة 16.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

خطوة 16.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$