الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ .

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

خطوة 3.2

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

خطوة 3.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

خطوة 3.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اختزِل العبارة $\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

خطوة 3.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y + 1}{1} = x$

خطوة 3.2.3.2

اقسِم $y + 1$ على $1$ .

$y + 1 = x$

خطوة 3.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = x - 1$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x - 1$ هي معكوس $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

خطوة 5.2.3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

خطوة 5.2.3.2.2

اقسِم $x + 1$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (x - 1)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

خطوة 5.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

خطوة 5.3.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x - 1$ و $b = 1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

خطوة 5.3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

خطوة 5.3.3.3.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

خطوة 5.3.3.3.3

اطرح $1$ من $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

خطوة 5.3.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $1$ من $- 1$ .

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 5.3.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

خطوة 5.3.4.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (x - 1) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x - 1$ هي معكوس $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x - 1$