الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ في صورة معادلة.

$y = 2 + \sqrt{x + 5}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2 + \sqrt{y + 5}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 + \sqrt{y + 5} = x$ .

$2 + \sqrt{y + 5} = x$

خطوة 3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{y + 5} = x - 2$

خطوة 3.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 3.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y + 5}$ في صورة ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(y + 5)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

بسّط.

$y + 5 = {(x - 2)}^{2}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط ${(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$y + 5 = (x - 2) (x - 2)$

خطوة 3.4.3.1.2

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 5 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

خطوة 3.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

خطوة 3.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y + 5 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 3.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y + 5 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 3.4.3.1.3.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

خطوة 3.4.3.1.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$y + 5 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

خطوة 3.4.3.1.3.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$y + 5 = x^{2} - 4 x + 4$

خطوة 3.5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 5$

خطوة 3.5.2

اطرح $5$ من $4$ .

$y = x^{2} - 4 x - 1$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ هي معكوس $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = {(2 + \sqrt{x + 5})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أعِد كتابة ${(2 + \sqrt{x + 5})}^{2}$ بالصيغة $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = (2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.2

وسّع $(2 + \sqrt{x + 5}) (2 + \sqrt{x + 5})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 (2 + \sqrt{x + 5}) + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} (2 + \sqrt{x + 5}) - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \cdot 2 + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.3

اضرب $\sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.3.1

ارفع $\sqrt{x + 5}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + \sqrt{x + 5} \sqrt{x + 5} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{1 + 1} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.3.3

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {\sqrt{x + 5}}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.4

أعِد كتابة ${\sqrt{x + 5}}^{2}$ بالصيغة $x + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 5}$ في صورة ${(x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {({(x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + {(x + 5)}^{\frac{2}{2}} - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.1.4.5

بسّط.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 4 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x + 5 - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.2

أضف $4$ و $5$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 2 \sqrt{x + 5} + 2 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.3.3

أضف $2 \sqrt{x + 5}$ و $2 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 (2 + \sqrt{x + 5}) - 1$

خطوة 5.2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 4 \cdot 2 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

خطوة 5.2.3.5

اضرب $- 4$ في $2$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$

خطوة 5.2.4

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $9 + 4 \sqrt{x + 5} + x - 8 - 4 \sqrt{x + 5} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

اطرح $4 \sqrt{x + 5}$ من $4 \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 + 0 - 1$

خطوة 5.2.4.1.2

أضف $9 + x - 8$ و $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = 9 + x - 8 - 1$

خطوة 5.2.4.2

اطرح $8$ من $9$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 1 - 1$

خطوة 5.2.4.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x + 0$

خطوة 5.2.4.3.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (2 + \sqrt{x + 5}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (x^{2} - 4 x - 1)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{(x^{2} - 4 x - 1) + 5}$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أضف $- 1$ و $5$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 4}$

خطوة 5.3.3.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 5.3.3.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (x^{2} - 4 x - 1) = 2 + x - 2$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 + x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (x^{2} - 4 x - 1) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$ هي معكوس $f (x) = 2 + \sqrt{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x - 1$