الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{2} \cdot \log (4 y)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \log (4 y) = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y)) = 2 x$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 y))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\log (4 y)$ .

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{\log (4 y)}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\log (4 y) = 2 x$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\log (4 y) = 2 x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$10^{2 x} = 4 y$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 y = 10^{2 x}$ .

$4 y = 10^{2 x}$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $4 y = 10^{2 x}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $4 y = 10^{2 x}$ على $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y}{4} = \frac{10^{2 x}}{4}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{10^{2 x}}{4}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x))}}{4}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{2 (\frac{1}{2}) \cdot \log (4 x)}}{4}$

خطوة 5.2.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{1 \cdot \log (4 x)}}{4}$

خطوة 5.2.3.2

بسّط $1 \cdot \log (4 x)$ بنقل $1$ داخل اللوغاريتم.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{10^{\log ({(4 x)}^{1})}}{4}$

خطوة 5.2.3.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 5.2.3.4

بسّط.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \log (4 x)) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{10^{2 x}}{4})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

خطوة 5.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 (\frac{10^{2 x}}{4}))$

خطوة 5.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \log (10^{2 x})$

خطوة 5.3.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $2 x$ خارج الأُس.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \log (10))$

خطوة 5.3.5

أساس اللوغاريتم $10$ لـ $10$ هو $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

خطوة 5.3.6

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

خطوة 5.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

خطوة 5.3.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

خطوة 5.3.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{10^{2 x}}{4}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{2 x}}{4}$