الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{2} y^{2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} y^{2} = x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 x$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 2 x$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{2 x}$

خطوة 3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{2 x}$

خطوة 3.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{2 x}$

خطوة 3.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

$y = \sqrt{2 x}$

$y = - \sqrt{2 x}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ و $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\sqrt{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{2 x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 x \geq 0$

خطوة 5.3.2

اقسِم كل حد في $2 x \geq 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اقسِم كل حد في $2 x \geq 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x \geq 0$

خطوة 5.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[0, \infty)$

خطوة 5.4

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5.5

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ هو مدى $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ومدى $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ هو نطاق $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{2 x}, - \sqrt{2 x}$

خطوة 6