الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ في صورة معادلة.

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ .

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $\sqrt{e^{y} + 1}$ التي تساوي $u$ .

$\sin (u) = x$

خطوة 3.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $u$ من داخل الجيب.

$u = \arcsin (x)$

خطوة 3.4

عوّض بـ $\sqrt{e^{y} + 1}$ عن $u$ وأوجِد حل $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{e^{y} + 1}$ في صورة ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

بسّط ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

بسّط.

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

خطوة 3.4.3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

خطوة 3.4.3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

خطوة 3.4.3.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.3.1

وسّع $\ln (e^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

خطوة 3.4.3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

خطوة 3.4.3.3.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ هي معكوس $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

خطوة 5.3.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

خطوة 5.3.4

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

خطوة 5.3.5

أضف ${\arcsin (x)}^{2}$ و $0$ .

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

خطوة 5.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

خطوة 5.3.7

تُعد دالتا الجيب وقوس الجيب دالتين متعاكستين.

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ هي معكوس $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$