الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب المعادلة في $y^{2} - 64$ .

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

خطوة 3.3.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 8$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ في $y^{2} - 64$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

خطوة 3.3.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

خطوة 3.3.1.3.2

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

خطوة 3.3.1.4

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

خطوة 3.3.1.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

خطوة 3.3.1.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

خطوة 3.3.1.4.2.2

اقسِم $8 y$ على $1$ .

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $8 y$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

خطوة 3.4.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.4.3

عوّض بقيم $a = x$ و $b = - 8$ و $c = - 64 x$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

خطوة 3.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.3.1

انقُل $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.4

اضرب $- 4$ في $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.5

أخرِج العامل $64$ من $64 + 256 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.5.1

أخرِج العامل $64$ من $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.5.2

أخرِج العامل $64$ من $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.5.3

أخرِج العامل $64$ من $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.6

أعِد كتابة $64 (1 + 4 x^{2})$ بالصيغة $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.6.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.6.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.1.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.3.1

انقُل $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.4

اضرب $- 4$ في $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.5

أخرِج العامل $64$ من $64 + 256 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.5.1

أخرِج العامل $64$ من $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.5.2

أخرِج العامل $64$ من $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.5.3

أخرِج العامل $64$ من $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.6

أعِد كتابة $64 (1 + 4 x^{2})$ بالصيغة $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.6.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.6.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.1.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.5.2

بسّط $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.5.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.5.4

أخرِج العامل $4$ من $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.5.4.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

خطوة 3.4.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.3.1

انقُل $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.4

اضرب $- 4$ في $- 64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.5

أخرِج العامل $64$ من $64 + 256 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.5.1

أخرِج العامل $64$ من $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.5.2

أخرِج العامل $64$ من $256 x^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.5.3

أخرِج العامل $64$ من $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.6

أعِد كتابة $64 (1 + 4 x^{2})$ بالصيغة $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1.6.1

أعِد كتابة $64$ بالصيغة $8^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.6.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.1.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

خطوة 3.4.6.2

بسّط $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.6.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.6.4

أخرِج العامل $4$ من $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

خطوة 3.4.6.4.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

خطوة 3.4.6.4.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ .

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

خطوة 3.4.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ و $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$4 x^{2} \geq - 1$

خطوة 5.3.2.2

اقسِم كل حد في $4 x^{2} \geq - 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x^{2} \geq - 1$ على $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

خطوة 5.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

خطوة 5.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

خطوة 5.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

خطوة 5.3.2.3

بما أن الطرف الأيسر به قوة زوجية، إذن هو دائمًا موجب بالنسبة إلى جميع الأعداد الحقيقية.

جميع الأعداد الحقيقية

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 5.3.4

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ لا يساوي مدى $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ ليست معكوس $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6