الرياضيات المتناهية الأمثلة

$y = 9^{x}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = 9^{y}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $9^{y} = x$ .

$9^{y} = x$

خطوة 2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (9^{y}) = \ln (x)$

خطوة 2.3

وسّع $\ln (9^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (9) = \ln (x)$

خطوة 2.4

اقسِم كل حد في $y \ln (9) = \ln (x)$ على $\ln (9)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم كل حد في $y \ln (9) = \ln (x)$ على $\ln (9)$ .

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

خطوة 2.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$ هي معكوس $f (x) = 9^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} \cdot 9^{x}$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{\ln (9^{x})}{\ln (9)}$

خطوة 4.2.3

وسّع $\ln (9^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{x \ln (9)}{\ln (9)}$

خطوة 4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{x \ln (9)}{\ln (9)}$

خطوة 4.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = 9^{\frac{\ln (x)}{\ln (9)}}$

خطوة 4.3.3

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = 9^{\log_{9} (x)}$

خطوة 4.3.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$ هي معكوس $f (x) = 9^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$