الرياضيات المتناهية الأمثلة

${(2 p - q)}^{6}$

خطوة 1

يمكن عرض مثلث باسكال على النحو التالي:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

يمكن استخدام المثلث لحساب معاملات توسيع ${(a + b)}^{n}$ بأخذ الأُس $n$ وجمع $1$ . ستتوافق المعاملات مع الخط $n + 1$ في المثلث. وبالنسبة إلى ${(2 p - q)}^{6}$ ، $n = 6$ ، لذا ستتوافق معاملات التوسيع مع الخط $7$ .

خطوة 2

التوسيع يتبع القاعدة ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . وتساوي قيم المعاملات، من المثلث، $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a$ $2 p$ و $b$ $- q$ في العبارة.

$1 {(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب ${(2 p)}^{6}$ في $1$ .

${(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 p$ .

$2^{6} p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.3

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$64 p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.4

طبّق قاعدة الضرب على $- q$ .

$64 p^{6} ({(- 1)}^{0} q^{0}) + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$64 \cdot {(- 1)}^{0} p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.6

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$64 \cdot 1 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.7

اضرب $64$ في $1$ .

$64 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.8

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$64 p^{6} \cdot 1 + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.9

اضرب $64$ في $1$ .

$64 p^{6} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.10

طبّق قاعدة الضرب على $2 p$ .

$64 p^{6} + 6 (2^{5} p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.11

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$64 p^{6} + 6 (32 p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.12

اضرب $32$ في $6$ .

$64 p^{6} + 192 p^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.13

بسّط.

$64 p^{6} + 192 p^{5} (- q) + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.14

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$64 p^{6} + 192 \cdot - 1 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.15

اضرب $192$ في $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.16

طبّق قاعدة الضرب على $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (2^{4} p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.17

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (16 p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.18

اضرب $16$ في $15$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.19

طبّق قاعدة الضرب على $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} ({(- 1)}^{2} q^{2}) + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.20

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot {(- 1)}^{2} p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.21

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot 1 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.22

اضرب $240$ في $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.23

طبّق قاعدة الضرب على $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (2^{3} p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.24

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (8 p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.25

اضرب $8$ في $20$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.26

طبّق قاعدة الضرب على $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} ({(- 1)}^{3} q^{3}) + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.27

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot {(- 1)}^{3} p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.28

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot - 1 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.29

اضرب $160$ في $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.30

طبّق قاعدة الضرب على $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (2^{2} p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.31

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (4 p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.32

اضرب $4$ في $15$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.33

طبّق قاعدة الضرب على $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} ({(- 1)}^{4} q^{4}) + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.34

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot {(- 1)}^{4} p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.35

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot 1 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.36

اضرب $60$ في $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.37

بسّط.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 (2 p) {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.38

اضرب $2$ في $6$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.39

طبّق قاعدة الضرب على $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p ({(- 1)}^{5} q^{5}) + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.40

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot {(- 1)}^{5} p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.41

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot - 1 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.42

اضرب $12$ في $- 1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.43

اضرب ${(2 p)}^{0}$ في $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.44

طبّق قاعدة الضرب على $2 p$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 2^{0} p^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.45

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 p^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.46

اضرب $p^{0}$ في $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + p^{0} {(- q)}^{6}$

خطوة 4.47

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(- q)}^{6}$

خطوة 4.48

اضرب ${(- q)}^{6}$ في $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- q)}^{6}$

خطوة 4.49

طبّق قاعدة الضرب على $- q$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- 1)}^{6} q^{6}$

خطوة 4.50

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 q^{6}$

خطوة 4.51

اضرب $q^{6}$ في $1$ .

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + q^{6}$