الرياضيات المتناهية الأمثلة

$2 x^{2} + 9 x - 11 < 0$

خطوة 1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$2 x^{2} + 9 x - 11 = 0$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 11 = - 22$ ومجموعهما $b = 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $9$ من $9 x$ .

$2 x^{2} + 9 (x) - 11 = 0$

خطوة 2.1.2

أعِد كتابة $9$ في صورة $- 2$ زائد $11$

$2 x^{2} + (- 2 + 11) x - 11 = 0$

خطوة 2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x^{2} - 2 x + 11 x - 11 = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(2 x^{2} - 2 x) + 11 x - 11 = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$2 x (x - 1) + 11 (x - 1) = 0$

خطوة 2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x + 11) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$2 x + 11 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $2 x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $2 x + 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 11 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 11 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 11$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 11$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 11$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{11}{2}$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (2 x + 11) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - \frac{11}{2}$

خطوة 7

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - \frac{11}{2}$

$- \frac{11}{2} < x < 1$

$x > 1$

خطوة 8

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - \frac{11}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - \frac{11}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 8$

خطوة 8.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 8$ في المتباينة الأصلية.

$2 {(- 8)}^{2} + 9 (- 8) - 11 < 0$

خطوة 8.1.3

الطرف الأيسر $45$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.2

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{11}{2} < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{11}{2} < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 8.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$2 {(0)}^{2} + 9 (0) - 11 < 0$

خطوة 8.2.3

الطرف الأيسر $- 11$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 8.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 8.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$2 {(4)}^{2} + 9 (4) - 11 < 0$

خطوة 8.3.3

الطرف الأيسر $57$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 8.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - \frac{11}{2}$ خطأ

$- \frac{11}{2} < x < 1$ صحيحة

$x > 1$ خطأ

$x < - \frac{11}{2}$ خطأ

$- \frac{11}{2} < x < 1$ صحيحة

$x > 1$ خطأ

خطوة 9

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- \frac{11}{2} < x < 1$

خطوة 10

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(- \frac{11}{2}, 1)$

خطوة 11