الرياضيات المتناهية الأمثلة

$4 r^{2} + 20 r + 25$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm \frac{25}{4}$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$4 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $r = - \frac{5}{2}$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

خطوة 4.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$4 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

خطوة 4.1.3

اضرب $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$4 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

خطوة 4.1.4

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$4 \frac{25}{2^{2}} + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

خطوة 4.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

خطوة 4.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{25}{4}) + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

خطوة 4.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$25 + 20 (- \frac{5}{2}) + 25$

خطوة 4.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{2}$ إلى بسط الكسر.

$25 + 20 (\frac{- 5}{2}) + 25$

خطوة 4.1.7.2

أخرِج العامل $2$ من $20$ .

$25 + 2 (10) \frac{- 5}{2} + 25$

خطوة 4.1.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$25 + 2 \cdot 10 \frac{- 5}{2} + 25$

خطوة 4.1.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$25 + 10 \cdot - 5 + 25$

خطوة 4.1.8

اضرب $10$ في $- 5$ .

$25 - 50 + 25$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $50$ من $25$ .

$- 25 + 25$

خطوة 4.2.2

أضف $- 25$ و $25$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- \frac{5}{2}$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $r + \frac{5}{2}$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{4 r^{2} + 20 r + 25}{r + \frac{5}{2}}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(4)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$

	$4$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(4)$ في المقسوم عليه $(- \frac{5}{2})$ وضَع نتيجة $(- 10)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(20)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$
	$4$	$10$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(10)$ في المقسوم عليه $(- \frac{5}{2})$ وضَع نتيجة $(- 25)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(25)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$20$	$25$
		$- 10$	$- 25$
	$4$	$10$	$0$

خطوة 6.7

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$(4) r + 10$

خطوة 6.8

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$4 r + 10$

خطوة 7

أخرِج العامل $2$ من $4 r + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $2$ من $4 r$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 10)$

خطوة 7.2

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r) + 2 (5))$

خطوة 7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (2 r) + 2 (5)$ .

$(r + \frac{5}{2}) (2 (2 r + 5))$

خطوة 8

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $4 r^{2}$ بالصيغة ${(2 r)}^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 25 = 0$

خطوة 8.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

${(2 r)}^{2} + 20 r + 5^{2} = 0$

خطوة 8.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$20 r = 2 \cdot (2 r) \cdot 5$

خطوة 8.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

${(2 r)}^{2} + 2 \cdot (2 r) \cdot 5 + 5^{2} = 0$

خطوة 8.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = 2 r$ و $b = 5$ .

${(2 r + 5)}^{2} = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة $2 r + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 r + 5 = 0$

خطوة 10

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$2 r = - 5$

خطوة 10.2

اقسِم كل حد في $2 r = - 5$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اقسِم كل حد في $2 r = - 5$ على $2$ .

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

خطوة 10.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 r}{2} = \frac{- 5}{2}$

خطوة 10.2.2.1.2

اقسِم $r$ على $1$ .

$r = \frac{- 5}{2}$

خطوة 10.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$r = - \frac{5}{2}$

خطوة 11