الرياضيات المتناهية الأمثلة

$| x^{2} - 5 | < 4 x$

خطوة 1

اكتب $| x^{2} - 5 | < 4 x$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x^{2} - 5 \geq 0$

خطوة 1.2

أوجِد حل المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضِف $5$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x^{2} \geq 5$

خطوة 1.2.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{5}$

خطوة 1.2.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \geq \sqrt{5}$

خطوة 1.2.4

اكتب $| x | \geq \sqrt{5}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 1.2.4.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \geq \sqrt{5}$

خطوة 1.2.4.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 1.2.4.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \geq \sqrt{5}$

خطوة 1.2.4.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \geq \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x \geq \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 1.2.5

أوجِد التقاطع بين $x \geq \sqrt{5}$ و $x \geq 0$ .

$x \geq \sqrt{5}$

خطوة 1.2.6

اقسِم كل حد في $- x \geq \sqrt{5}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اقسِم كل حد في $- x \geq \sqrt{5}$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

خطوة 1.2.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

خطوة 1.2.6.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \leq \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

خطوة 1.2.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \sqrt{5}$

خطوة 1.2.6.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{5}$ بالصيغة $- \sqrt{5}$ .

$x \leq - \sqrt{5}$

خطوة 1.2.7

أوجِد اتحاد الحلول.

$x \leq - \sqrt{5}$ أو $x \geq \sqrt{5}$

خطوة 1.3

في الجزء الذي يكون فيه $x^{2} - 5$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x^{2} - 5 < 4 x$

خطوة 1.4

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x^{2} - 5 < 0$

خطوة 1.5

أوجِد حل المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضِف $5$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x^{2} < 5$

خطوة 1.5.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{5}$

خطوة 1.5.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | < \sqrt{5}$

خطوة 1.5.4

اكتب $| x | < \sqrt{5}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 1.5.4.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x < \sqrt{5}$

خطوة 1.5.4.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 1.5.4.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x < \sqrt{5}$

خطوة 1.5.4.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x < \sqrt{5} & x \geq 0 \\ - x < \sqrt{5} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 1.5.5

أوجِد التقاطع بين $x < \sqrt{5}$ و $x \geq 0$ .

$0 \leq x < \sqrt{5}$

خطوة 1.5.6

أوجِد حل $- x < \sqrt{5}$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

اقسِم كل حد في $- x < \sqrt{5}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1.1

اقسِم كل حد في $- x < \sqrt{5}$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

خطوة 1.5.6.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

خطوة 1.5.6.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x > \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

خطوة 1.5.6.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \sqrt{5}$

خطوة 1.5.6.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{5}$ بالصيغة $- \sqrt{5}$ .

$x > - \sqrt{5}$

خطوة 1.5.6.2

أوجِد التقاطع بين $x > - \sqrt{5}$ و $x < 0$ .

$- \sqrt{5} < x < 0$

خطوة 1.5.7

أوجِد اتحاد الحلول.

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

خطوة 1.6

في الجزء الذي يكون فيه $x^{2} - 5$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- (x^{2} - 5) < 4 x$

خطوة 1.7

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - (x^{2} - 5) < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

خطوة 1.8

بسّط $- (x^{2} - 5) < 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} - - 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

خطوة 1.8.2

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

${\begin{cases} x^{2} - 5 < 4 x & x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5} \\ - x^{2} + 5 < 4 x & - \sqrt{5} < x < \sqrt{5} \end{cases}$

خطوة 2

أوجِد حل $x^{2} - 5 < 4 x$ عندما تكون $x \leq - \sqrt{5} or x \geq \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 5 < 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اطرح $4 x$ من كلا طرفي المتباينة.

$x^{2} - 5 - 4 x < 0$

خطوة 2.1.2

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$x^{2} - 5 - 4 x = 0$

خطوة 2.1.3

حلّل $x^{2} - 5 - 4 x$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 5$ ومجموعهما $- 4$ .

$- 5, 1$

خطوة 2.1.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 5) (x + 1) = 0$

خطوة 2.1.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 2.1.5

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 2.1.6

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 2.1.6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 2.1.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 5) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 5, - 1$

خطوة 2.1.8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 1$

$- 1 < x < 5$

$x > 5$

خطوة 2.1.9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.9.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.9.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 2.1.9.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

${(- 4)}^{2} - 5 < 4 (- 4)$

خطوة 2.1.9.1.3

الطرف الأيسر $11$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 16$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 2.1.9.2

اختبر قيمة في الفترة $- 1 < x < 5$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.9.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 1 < x < 5$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 2.1.9.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

${(0)}^{2} - 5 < 4 (0)$

خطوة 2.1.9.2.3

الطرف الأيسر $- 5$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 2.1.9.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 5$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.9.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 5$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 8$

خطوة 2.1.9.3.2

استبدِل $x$ بـ $8$ في المتباينة الأصلية.

${(8)}^{2} - 5 < 4 (8)$

خطوة 2.1.9.3.3

الطرف الأيسر $59$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $32$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 2.1.9.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 1$ خطأ

$- 1 < x < 5$ صحيحة

$x > 5$ خطأ

$x < - 1$ خطأ

$- 1 < x < 5$ صحيحة

$x > 5$ خطأ

خطوة 2.1.10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 1 < x < 5$

خطوة 2.2

أوجِد التقاطع بين $- 1 < x < 5$ و $x \leq - \sqrt{5} o r + x \geq \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5} \leq x < 5$

خطوة 3

أوجِد حل $- x^{2} + 5 < 4 x$ عندما تكون $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $x$ في $- x^{2} + 5 < 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اطرح $4 x$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} + 5 - 4 x < 0$

خطوة 3.1.2

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$- x^{2} + 5 - 4 x = 0$

خطوة 3.1.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2} + 5 - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

انقُل $5$ .

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

خطوة 3.1.3.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

خطوة 3.1.3.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

خطوة 3.1.3.1.4

أعِد كتابة $5$ بالصيغة $- 1 (- 5)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

خطوة 3.1.3.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

خطوة 3.1.3.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

خطوة 3.1.3.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.2.1

حلّل $x^{2} + 4 x - 5$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 5$ ومجموعهما $4$ .

$- 1, 5$

خطوة 3.1.3.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

خطوة 3.1.3.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

خطوة 3.1.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

خطوة 3.1.5

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.1.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 3.1.6

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.6.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 3.1.6.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 3.1.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 1) (x + 5) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 5$

خطوة 3.1.8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

خطوة 3.1.9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.9.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 5$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.9.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 5$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 8$

خطوة 3.1.9.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 8$ في المتباينة الأصلية.

$- {(- 8)}^{2} + 5 < 4 (- 8)$

خطوة 3.1.9.1.3

الطرف الأيسر $- 59$ أصغر من الطرف الأيمن $- 32$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 3.1.9.2

اختبر قيمة في الفترة $- 5 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.9.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 5 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 3.1.9.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$- {(0)}^{2} + 5 < 4 (0)$

خطوة 3.1.9.2.3

الطرف الأيسر $5$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 3.1.9.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.9.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 3.1.9.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$- {(4)}^{2} + 5 < 4 (4)$

خطوة 3.1.9.3.3

الطرف الأيسر $- 11$ أصغر من الطرف الأيمن $16$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 3.1.9.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 5$ صحيحة

$- 5 < x < 1$ خطأ

$x > 1$ صحيحة

$x < - 5$ صحيحة

$- 5 < x < 1$ خطأ

$x > 1$ صحيحة

خطوة 3.1.10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 5$ أو $x > 1$

خطوة 3.2

أوجِد التقاطع بين $x < - 5 or x > 1$ و $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ .

$1 < x < \sqrt{5}$

خطوة 4

أوجِد اتحاد الحلول.

$1 < x < 5$

خطوة 5

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(1, 5)$

خطوة 6