الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} < y + 2$

خطوة 1

اطرح $y$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$4 y, 3, 1, 1$

خطوة 2.2

Since $4 y, 3, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}$ .

خطوة 2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.4

$4$ لها العاملان $2$ و $2$ .

$2 \cdot 2$

خطوة 2.5

بما أن $3$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $3$ .

$3$ هي عدد أولي

خطوة 2.6

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $4, 3, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

خطوة 2.8

اضرب $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 \cdot 3$

خطوة 2.8.2

اضرب $4$ في $3$ .

$12$

خطوة 2.9

عامل $y^{1}$ هو $y$ نفسها.

$y^{1} = y$

تحدث $y$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{1}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y$

خطوة 2.11

المضاعف المشترك الأصغر لـ $4 y, 3, 1, 1$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $12$ في الجزء المتغير.

$12 y$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ في $12 y$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{4 y} - \frac{1}{3} - y < 2$ في $12 y$ .

$\frac{1}{4 y} (12 y) - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$12 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$4 (3) \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $4 y$ .

$4 (3) \frac{1}{4 (y)} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot 3 \frac{1}{4 y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 \frac{1}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{y} y - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 - \frac{1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$3 + \frac{- 1}{3} (12 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $12 y$ .

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 + \frac{- 1}{3} (3 (4 y)) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 - (4 y) - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$3 - 4 y - y (12 y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y \cdot y < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.8

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.8.1

انقُل $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 (y \cdot y) < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.8.2

اضرب $y$ في $y$ .

$3 - 4 y - 1 \cdot 12 y^{2} < 2 (12 y)$

خطوة 3.2.1.9

اضرب $- 1$ في $12$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 2 (12 y)$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $12$ في $2$ .

$3 - 4 y - 12 y^{2} < 24 y$

خطوة 4

أوجِد حل المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى الطرف الأيسر للمتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $24 y$ من كلا طرفي المتباينة.

$3 - 4 y - 12 y^{2} - 24 y < 0$

خطوة 4.1.2

اطرح $24 y$ من $- 4 y$ .

$3 - 12 y^{2} - 28 y < 0$

خطوة 4.2

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$3 - 12 y^{2} - 28 y = 0$

خطوة 4.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.4

عوّض بقيم $a = - 12$ و $b = - 28$ و $c = 3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot 3)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

ارفع $- 28$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.5.1.2.2

اضرب $48$ في $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.5.1.3

أضف $784$ و $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.5.1.4

أعِد كتابة $928$ بالصيغة $4^{2} \cdot 58$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.5.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.5.2

اضرب $2$ في $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

خطوة 4.5.3

بسّط $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

خطوة 4.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

خطوة 4.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.1

ارفع $- 28$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.6.1.2.2

اضرب $48$ في $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.6.1.3

أضف $784$ و $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.6.1.4

أعِد كتابة $928$ بالصيغة $4^{2} \cdot 58$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.6.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.6.2

اضرب $2$ في $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

خطوة 4.6.3

بسّط $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

خطوة 4.6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

خطوة 4.6.5

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

خطوة 4.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

ارفع $- 28$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot - 12 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 12 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 48 \cdot 3}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.7.1.2.2

اضرب $48$ في $3$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 144}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.7.1.3

أضف $784$ و $144$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{928}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.7.1.4

أعِد كتابة $928$ بالصيغة $4^{2} \cdot 58$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $928$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{16 (58)}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.7.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{28 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 58}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{2 \cdot - 12}$

خطوة 4.7.2

اضرب $2$ في $- 12$ .

$y = \frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$

خطوة 4.7.3

بسّط $\frac{28 \pm 4 \sqrt{58}}{- 24}$ .

$y = \frac{7 \pm \sqrt{58}}{- 6}$

خطوة 4.7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{7 \pm \sqrt{58}}{6}$

خطوة 4.7.5

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

خطوة 4.8

وحّد الحلول.

$y = - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

خطوة 5

أوجِد نطاق $\frac{1}{4 y} - y - \frac{7}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{4 y}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$4 y = 0$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $4 y = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $4 y = 0$ على $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{0}{4}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$y = 0$

خطوة 5.3

النطاق هو جميع قيم $y$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 6

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

خطوة 7

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اختبر قيمة في الفترة $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اختر قيمة من الفترة $y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$y = - 5$

خطوة 7.1.2

استبدِل $y$ بـ $- 5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1}{4 (- 5)} - \frac{1}{3} < (- 5) + 2$

خطوة 7.1.3

الطرف الأيسر $- 0.38\overline{3}$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 3$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 7.2

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$y = - 1$

خطوة 7.2.2

استبدِل $y$ بـ $- 1$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1}{4 (- 1)} - \frac{1}{3} < (- 1) + 2$

خطوة 7.2.3

الطرف الأيسر $- 0.58\overline{3}$ أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 7.3

اختبر قيمة في الفترة $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اختر قيمة من الفترة $0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$y = 0.05$

خطوة 7.3.2

استبدِل $y$ بـ $0.05$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1}{4 (0.05)} - \frac{1}{3} < (0.05) + 2$

خطوة 7.3.3

الطرف الأيسر $4.\overline{6}$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $2.05$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 7.4

اختبر قيمة في الفترة $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اختر قيمة من الفترة $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$y = 3$

خطوة 7.4.2

استبدِل $y$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{1}{4 (3)} - \frac{1}{3} < (3) + 2$

خطوة 7.4.3

الطرف الأيسر $- 0.25$ أصغر من الطرف الأيمن $5$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 7.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ خطأ

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ صحيحة

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ خطأ

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ صحيحة

$y < - \frac{7 + \sqrt{58}}{6}$ خطأ

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ صحيحة

$0 < y < - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ خطأ

$y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$ صحيحة

خطوة 8

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- \frac{7 + \sqrt{58}}{6} < y < 0$ أو $y > - \frac{7 - \sqrt{58}}{6}$

خطوة 9

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(- \frac{7 + \sqrt{58}}{6}, 0) \cup (- \frac{7 - \sqrt{58}}{6}, \infty)$

خطوة 10