الرياضيات المتناهية الأمثلة

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = 5$

خطوة 1

عوّض بقيمة $\sin (x)$ التي تساوي $u$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = 5$

خطوة 2

انقُل كل الحدود إلى المتعادل الأيسر وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$7 u^{2} - 14 u + 2 - 5 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $5$ من $2$ .

$7 u^{2} - 14 u - 3 = 0$

خطوة 3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4

عوّض بقيم $a = 7$ و $b = - 14$ و $c = - 3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot - 3)}}{2 \cdot 7}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $- 14$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 7 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

خطوة 5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 7 \cdot - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $7$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 28 \cdot - 3}}{2 \cdot 7}$

خطوة 5.1.2.2

اضرب $- 28$ في $- 3$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 84}}{2 \cdot 7}$

خطوة 5.1.3

أضف $196$ و $84$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{280}}{2 \cdot 7}$

خطوة 5.1.4

أعِد كتابة $280$ بالصيغة $2^{2} \cdot 70$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $280$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{4 (70)}}{2 \cdot 7}$

خطوة 5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$u = \frac{14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 70}}{2 \cdot 7}$

خطوة 5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{2 \cdot 7}$

خطوة 5.2

اضرب $2$ في $7$ .

$u = \frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$

خطوة 5.3

بسّط $\frac{14 \pm 2 \sqrt{70}}{14}$ .

$u = \frac{7 \pm \sqrt{70}}{7}$

خطوة 6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

خطوة 7

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}, \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

خطوة 8

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$

$\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

مدى الجيب هو $- 1 \leq y \leq 1$ . وبما أن $\frac{7 + \sqrt{70}}{7}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = \frac{7 - \sqrt{70}}{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{7 - \sqrt{70}}{7})$ .

$x = - 0.19649053$

خطوة 10.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

خطوة 10.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 + 0.19649053$

خطوة 10.4.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) + 0.19649053$

خطوة 10.4.3

أضف $3.14159265$ و $0.19649053$ .

$x = 3.33808319$

خطوة 10.5

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 10.6

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

اجمع $2 π$ مع $- 0.19649053$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.19649053 + 2 π$

خطوة 10.6.2

اطرح $0.19649053$ من $2 π$ .

$6.08669476$

خطوة 10.6.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 6.08669476$

خطوة 10.7

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 11

اسرِد جميع الحلول.

$x = 3.33808319 + 2 π n, 6.08669476 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$