الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x} = 81^{x^{2} - 2}$

خطوة 1

خُذ اللوغاريتم لكلا المتعادلين.

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

خطوة 2

أعِد كتابة $\ln (\frac{1}{27^{2 x}} \cdot 3^{- 2 x})$ بالصيغة $\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x})$ .

$\ln (\frac{1}{27^{2 x}}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

خطوة 3

أعِد كتابة $\ln (\frac{1}{27^{2 x}})$ بالصيغة $\ln (1) - \ln (27^{2 x})$ .

$\ln (1) - \ln (27^{2 x}) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

خطوة 4

وسّع $\ln (27^{2 x})$ بنقل $2 x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) + \ln (3^{- 2 x}) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

خطوة 5

وسّع $\ln (3^{- 2 x})$ بنقل $- 2 x$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (1) - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

خطوة 6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$0 - (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

خطوة 7

اطرح $2 x \ln (27)$ من $0$ .

$- (2 x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

خطوة 8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 (x \ln (27)) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

خطوة 9

احذِف الأقواس.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = \ln (81^{x^{2} - 2})$

خطوة 10

وسّع $\ln (81^{x^{2} - 2})$ بنقل $x^{2} - 2$ خارج اللوغاريتم.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = (x^{2} - 2) \ln (81)$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

خطوة 11.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط $- 2 x \ln (27) - 2 x \ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1.1

بسّط $- 2 \ln (27)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$x (- \ln (27^{2})) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

خطوة 11.2.1.1.2

ارفع $27$ إلى القوة $2$ .

$x (- \ln (729)) - 2 x \ln (3) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

خطوة 11.2.1.1.3

بسّط $- 2 \ln (3)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (3^{2})) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

خطوة 11.2.1.1.4

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$x (- \ln (729)) + x (- \ln (9)) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

خطوة 11.2.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $x (- \ln (729)) + x (- \ln (9))$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - 2 \ln (81)$

خطوة 11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1.1

بسّط $- 2 \ln (81)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (81^{2})$

خطوة 11.3.1.2

ارفع $81$ إلى القوة $2$ .

$- x \ln (729) - x \ln (9) = x^{2} \ln (81) - \ln (6561)$

خطوة 11.4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$- x \ln (729) - x \ln (9) - x^{2} \ln (81) + \ln (6561) = 0$

خطوة 11.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 11.6

عوّض بقيم $a = - \ln (81)$ و $b = - \ln (729) - \ln (9)$ و $c = \ln (6561)$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- (- \ln (729) - \ln (9)) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- \ln (81) \cdot \ln (6561))}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.2

اضرب $- - \ln (729)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x = \frac{1 \ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.2.2

اضرب $\ln (729)$ في $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.3

اضرب $- - \ln (9)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + 1 \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.3.2

اضرب $\ln (9)$ في $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{{(- \ln (729) - \ln (9))}^{2} - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.4

أعِد كتابة ${(- \ln (729) - \ln (9))}^{2}$ بالصيغة $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.5

وسّع $(- \ln (729) - \ln (9)) (- \ln (729) - \ln (9))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729) - \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729) - \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- \ln (729) (- \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.2

اضرب $\ln (729)$ في $\ln (729)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.6.1.2.1

انقُل $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (\ln (729) \ln (729))) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.2.2

اضرب $\ln (729)$ في $\ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (729)) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{1 \ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.4

اضرب $\ln^{2} (729)$ في $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - \ln (729) (- \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (729) \ln (9)) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 1 \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.7

اضرب $\ln (729)$ في $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - \ln (9) (- \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (729)) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + 1 \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.10

اضرب $\ln (9)$ في $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - \ln (9) (- \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.11

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln (9) \ln (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.12

اضرب $\ln (9)$ في $\ln (9)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.6.1.12.1

انقُل $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 (\ln (9) \ln (9))) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.12.2

اضرب $\ln (9)$ في $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) - 1 \cdot (- 1 \ln^{2} (9)) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.13

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + 1 \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.1.14

اضرب $\ln^{2} (9)$ في $1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (729) \ln (9) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.2

أضف $\ln (729) \ln (9)$ و $\ln (9) \ln (729)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1.6.2.1

أعِد ترتيب $\ln (729)$ و $\ln (9)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.6.2.2

أضف $\ln (9) \ln (729)$ و $\ln (9) \ln (729)$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) - 4 \cdot (- 1 \ln (81)) \cdot \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.1.7

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 (- \ln (81))}$

خطوة 11.7.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x = \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{- 2 \ln (81)}$

خطوة 11.7.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) \pm \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

خطوة 11.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{\ln (729) + \ln (9) + \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}, - \frac{\ln (729) + \ln (9) - \sqrt{\ln^{2} (729) + 2 \ln (9) \ln (729) + \ln^{2} (9) + 4 \ln (81) \ln (6561)}}{2 \ln (81)}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

الصيغة العشرية:

$x = - 2.73205080 \dots, 0.73205080 \dots$