الرياضيات المتناهية الأمثلة

2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 e^{2 x} - 5 e^{x} + 4 = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة

e^{2 x}

$e^{2 x}$ في صورة أُس.

2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0

$2 {(e^{x})}^{2} - 5 e^{x} + 4 = 0$

خطوة 2

عوّض بقيمة

e^{x}

$e^{x}$ التي تساوي

u

$u$ .

2 u^{2} - 5 u + 4 = 0

$2 u^{2} - 5 u + 4 = 0$

خطوة 3

أوجِد قيمة

u

$u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.2

عوّض بقيم

a = 2

$a = 2$ و

b = - 5

$b = - 5$ و

c = 4

$c = 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة

u

$u$ .

\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ارفع

- 5

$- 5$ إلى القوة

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب

- 4 \cdot 2 \cdot 4

$- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اضرب

- 4

$- 4$ في

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب

- 8

$- 8$ في

4

$4$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.3

اطرح

32

$32$ من

25

$25$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.4

أعِد كتابة

- 7

$- 7$ بالصيغة

- 1 (7)

$- 1 (7)$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.5

أعِد كتابة

\sqrt{- 1 (7)}

$\sqrt{- 1 (7)}$ بالصيغة

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.1.6

أعِد كتابة

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ بالصيغة

i

$i$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2

اضرب

2

$2$ في

2

$2$ .

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{4}$

خطوة 3.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$u = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

خطوة 4

عوّض بـ

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ عن

u

$u$ في

u = e^{x}

$u = e^{x}$ .

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

خطوة 5

أوجِد حل

\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 + i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$ .

e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 + i \sqrt{7}}{4}$

خطوة 5.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 5.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

وسّع

\ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ بنقل

x

$x$ خارج اللوغاريتم.

x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 5.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ

e

$e$ يساوي

1

$1$ .

x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 5.3.3

اضرب

x

$x$ في

1

$1$ .

x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 5.4

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة

\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})

$\ln (\frac{5 + i \sqrt{7}}{4})$ بالصيغة

\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)

$\ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)

$x = \ln (5 + i \sqrt{7}) - \ln (4)$

خطوة 5.4.2

استخدِم

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

\sqrt{7}

$\sqrt{7}$ في صورة

7^{\frac{1}{2}}

$7^{\frac{1}{2}}$ .

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

خطوة 5.4.3

أعِد كتابة

\ln (4)

$\ln (4)$ بالصيغة

\ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ .

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

خطوة 5.4.4

وسّع

\ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ بنقل

2

$2$ خارج اللوغاريتم.

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

خطوة 5.4.5

اضرب

2

$2$ في

- 1

$- 1$ .

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

بسّط

- 2 \ln (2)

$- 2 \ln (2)$ بنقل

2

$2$ داخل اللوغاريتم.

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

خطوة 5.5.1.2

ارفع

2

$2$ إلى القوة

2

$2$ .

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

خطوة 5.5.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات،

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

خطوة 6

عوّض بـ

\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ عن

u

$u$ في

u = e^{x}

$u = e^{x}$ .

\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$

خطوة 7

أوجِد حل

\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}

$\frac{5 - i \sqrt{7}}{4} = e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة

e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$ .

e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}

$e^{x} = \frac{5 - i \sqrt{7}}{4}$

خطوة 7.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 7.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

وسّع

\ln (e^{x})

$\ln (e^{x})$ بنقل

x

$x$ خارج اللوغاريتم.

x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x \ln (e) = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 7.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ

e

$e$ يساوي

1

$1$ .

x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 7.3.3

اضرب

x

$x$ في

1

$1$ .

x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$

خطوة 7.4

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أعِد كتابة

\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})

$\ln (\frac{5 - i \sqrt{7}}{4})$ بالصيغة

\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)

$\ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$ .

x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)

$x = \ln (5 - i \sqrt{7}) - \ln (4)$

خطوة 7.4.2

استخدِم

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة

\sqrt{7}

$\sqrt{7}$ في صورة

7^{\frac{1}{2}}

$7^{\frac{1}{2}}$ .

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

خطوة 7.4.3

أعِد كتابة

\ln (4)

$\ln (4)$ بالصيغة

\ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ .

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

خطوة 7.4.4

وسّع

\ln (2^{2})

$\ln (2^{2})$ بنقل

2

$2$ خارج اللوغاريتم.

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - (2 \ln (2))$

خطوة 7.4.5

اضرب

2

$2$ في

- 1

$- 1$ .

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - 2 \ln (2)$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

بسّط

- 2 \ln (2)

$- 2 \ln (2)$ بنقل

2

$2$ داخل اللوغاريتم.

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (2^{2})$

خطوة 7.5.1.2

ارفع

2

$2$ إلى القوة

2

$2$ .

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)

$x = \ln (5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}) - \ln (4)$

خطوة 7.5.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات،

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$

خطوة 8

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})

$x = \ln (\frac{5 + i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4}), \ln (\frac{5 - i \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{4})$