الرياضيات المتناهية الأمثلة

$[\begin{array}{c} \frac{2}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}]$

خطوة 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

خطوة 2

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 2.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 (2)} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4 \cdot 3}$

خطوة 2.2.1.3.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{12}$

خطوة 2.2.2

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{12}$

خطوة 2.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $12$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} - \frac{1}{12}$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{6}{12} - \frac{1}{12}$

خطوة 2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{6 - 1}{12}$

خطوة 2.2.5

اطرح $1$ من $6$ .

$\frac{5}{12}$

خطوة 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{5}{12}} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$1 (\frac{12}{5}) [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 6

اضرب $\frac{12}{5}$ في $1$ .

$\frac{12}{5} [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 7

اضرب $\frac{12}{5}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} \frac{12}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{3}{4} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} \cdot 3 & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{3}{5}$ و $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 3}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.3

اضرب $3$ في $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} (- \frac{1}{4}) \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{4}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.4.2

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 (3)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{4 \cdot 3}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3}{5} \cdot - 1 \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.5

اجمع $\frac{3}{5}$ و $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{3 \cdot - 1}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & \frac{- 3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} (- \frac{1}{3}) & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{12}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.8.2

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \cdot - 1 & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.9

اجمع $\frac{4}{5}$ و $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{4 \cdot - 1}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.10

اضرب $4$ في $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{12}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.12

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.12.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 (4)}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{3 \cdot 4}{5} \cdot \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 8.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4}{5} \cdot 2 \end{array}]$

خطوة 8.13

اجمع $\frac{4}{5}$ و $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{4 \cdot 2}{5} \end{array}]$

خطوة 8.14

اضرب $4$ في $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{9}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} & \frac{8}{5} \end{array}]$