الرياضيات المتناهية الأمثلة

$79 \sin^{2} (x) = \cos (2 x)$

خطوة 1

اطرح $\cos (2 x)$ من كلا المتعادلين.

$79 \sin^{2} (x) - \cos (2 x) = 0$

خطوة 2

بسّط المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (2 x)$ إلى $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$79 \sin^{2} (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$79 \sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 2.1.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$79 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 2.2

أضف $79 \sin^{2} (x)$ و $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 81 \sin^{2} (x) = 0$

خطوة 3

حلّل $- 1 + 81 \sin^{2} (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $81 \sin^{2} (x)$ بالصيغة ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

$- 1 + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- 1^{2} + {(9 \sin (x))}^{2} = 0$

خطوة 3.3

أعِد ترتيب $- 1^{2}$ و ${(9 \sin (x))}^{2}$ .

${(9 \sin (x))}^{2} - 1^{2} = 0$

خطوة 3.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 9 \sin (x)$ و $b = 1$ .

$(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

$9 \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $9 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $9 \sin (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 \sin (x) + 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $9 \sin (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$9 \sin (x) = - 1$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $9 \sin (x) = - 1$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $9 \sin (x) = - 1$ على $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{- 1}{9}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{9}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\sin (x) = - \frac{1}{9}$

خطوة 5.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (- \frac{1}{9})$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (- \frac{1}{9})$ .

$x = - 0.11134101$

خطوة 5.2.5

دالة الجيب سالبة في الربعين الثالث والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح الحل من $2 π$ ، لإيجاد زاوية المرجع. وبعد ذلك، اجمع زاوية المرجع المذكورة مع $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$

خطوة 5.2.6

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

اطرح $2 π$ من $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265 - 2 π$

خطوة 5.2.6.2

الزاوية الناتجة لـ $3.25293366$ موجبة وأصغر من $2 π$ ومشتركة النهاية مع $2 (3.14159265) + 0.11134101 + 3.14159265$ .

$x = 3.25293366$

خطوة 5.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 5.2.8

اجمع $2 π$ مع كل زاوية سالبة لإيجاد الزوايا الموجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

اجمع $2 π$ مع $- 0.11134101$ لإيجاد الزاوية الموجبة.

$- 0.11134101 + 2 π$

خطوة 5.2.8.2

اطرح $0.11134101$ من $2 π$ .

$6.17184429$

خطوة 5.2.8.3

اسرِد الزوايا الجديدة.

$x = 6.17184429$

خطوة 5.2.9

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $9 \sin (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $9 \sin (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 \sin (x) - 1 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $9 \sin (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$9 \sin (x) = 1$

خطوة 6.2.2

اقسِم كل حد في $9 \sin (x) = 1$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اقسِم كل حد في $9 \sin (x) = 1$ على $9$ .

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 \sin (x)}{9} = \frac{1}{9}$

خطوة 6.2.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{9}$

خطوة 6.2.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{1}{9})$

خطوة 6.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

احسِب قيمة $\arcsin (\frac{1}{9})$ .

$x = 0.11134101$

خطوة 6.2.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

خطوة 6.2.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.6.1

احذِف الأقواس.

$x = 3.14159265 - 0.11134101$

خطوة 6.2.6.2

احذِف الأقواس.

$x = (3.14159265) - 0.11134101$

خطوة 6.2.6.3

اطرح $0.11134101$ من $3.14159265$ .

$x = 3.03025163$

خطوة 6.2.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 6.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 6.2.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 6.2.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(9 \sin (x) + 1) (9 \sin (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 3.25293366 + 2 π n, 6.17184429 + 2 π n, 0.11134101 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

وحّد الإجابات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ادمج $3.25293366 + 2 π n$ و $0.11134101 + 2 π n$ في $0.11134101 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 6.17184429 + 2 π n, 3.03025163 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8.2

ادمج $6.17184429 + 2 π n$ و $3.03025163 + 2 π n$ في $3.03025163 + π n$ .

$x = 0.11134101 + π n, 3.03025163 + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$