الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\ln^{2} (x) - \ln (x) - 2 = 0$

خطوة 1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\ln (x)$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

خطوة 1.2

حلّل $u^{2} - u - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 2, 1$

خطوة 1.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

$\ln (x) + 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\ln (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\ln (x) - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\ln (x) - 2 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $\ln (x) - 2 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$\ln (x) = 2$

خطوة 3.2.2

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{2}$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\ln (x) = 2$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x$

خطوة 3.2.4

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{2}$ .

$x = e^{2}$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\ln (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\ln (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\ln (x) + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $\ln (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\ln (x) = - 1$

خطوة 4.2.2

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $\ln (x) = - 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

خطوة 4.2.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(\ln (x) - 2) (\ln (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = e^{2}, \frac{1}{e}$

الصيغة العشرية:

$x = 7.38905609 \dots, 0.36787944 \dots$