الرياضيات المتناهية الأمثلة

$8000 e^{0.06 t} = 47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t}$

خطوة 1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (8000 e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\ln (8000 e^{0.06 t})$ بالصيغة $\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t})$ .

$\ln (8000) + \ln (e^{0.06 t}) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

خطوة 2.2

وسّع $\ln (e^{0.06 t})$ بنقل $0.06 t$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (8000) + 0.06 t \ln (e) = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

خطوة 2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t \cdot 1 = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

خطوة 2.4

اضرب $0.06$ في $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

خطوة 3

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\ln (47000 {(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ بالصيغة $\ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + \ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$

خطوة 3.2

وسّع $\ln ({(1 + \frac{0.03}{1})}^{t})$ بنقل $t$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + \frac{0.03}{1})$

خطوة 3.3

اقسِم $0.03$ على $1$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1 + 0.03)$

خطوة 3.4

أضف $1$ و $0.03$ .

$\ln (8000) + 0.06 t = \ln (47000) + t \ln (1.03)$

خطوة 4

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (8000) - \ln (47000) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

خطوة 5

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{8000}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

خطوة 6

احذِف العامل المشترك لـ $8000$ و $47000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل $1000$ من $8000$ .

$\ln (\frac{1000 (8)}{47000}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

خطوة 6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $1000$ من $47000$ .

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{1000 \cdot 8}{1000 \cdot 47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

خطوة 6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) = - 0.06 t$

خطوة 7

أضف $0.06 t$ إلى كلا المتعادلين.

$\ln (\frac{8}{47}) - t \ln (1.03) + 0.06 t = 0$

خطوة 8

اطرح $\ln (\frac{8}{47})$ من كلا المتعادلين.

$- t \ln (1.03) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

خطوة 9

أخرِج العامل $0.02 t$ من $- t \ln (1.03) + 0.06 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل $0.02 t$ من $- t \ln (1.03)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.06 t = - \ln (\frac{8}{47})$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $0.02 t$ من $0.06 t$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3) = - \ln (\frac{8}{47})$

خطوة 9.3

أخرِج العامل $0.02 t$ من $0.02 t (- 50 \ln (1.03)) + 0.02 t (3)$ .

$0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$

خطوة 10

اقسِم كل حد في $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ على $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اقسِم كل حد في $0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3) = - \ln (\frac{8}{47})$ على $0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)$ .

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

خطوة 10.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $0.02$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{0.02 t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

خطوة 10.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

خطوة 10.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 50 \ln (1.03) + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t (- 50 \ln (1.03) + 3)}{- 50 \ln (1.03) + 3} = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

خطوة 10.2.2.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

خطوة 10.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - \frac{\ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

خطوة 10.3.2

اضرب في $1$ .

$t = - \frac{1 \ln (\frac{8}{47})}{0.02 (- 50 \ln (1.03) + 3)}$

خطوة 10.3.3

افصِل الكسور.

$t = - (\frac{1}{0.02} \cdot \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

خطوة 10.3.4

اقسِم $1$ على $0.02$ .

$t = - (50 \frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3})$

خطوة 10.3.5

اجمع $50$ و $\frac{\ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 50 \ln (1.03) + 3}$

خطوة 10.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 50 \ln (1.03)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) + 3}$

خطوة 10.3.7

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)}$

خطوة 10.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (50 \ln (1.03)) - 1 (- 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- (50 \ln (1.03) - 3)}$

خطوة 10.3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.9.1

أعِد كتابة $- (50 \ln (1.03) - 3)$ بالصيغة $- 1 (50 \ln (1.03) - 3)$ .

$t = - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{- 1 (50 \ln (1.03) - 3)}$

خطوة 10.3.9.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$t = - - \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

خطوة 10.3.9.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$t = 1 \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

خطوة 10.3.9.4

اضرب $\frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$ في $1$ .

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$t = \frac{50 \ln (\frac{8}{47})}{50 \ln (1.03) - 3}$

الصيغة العشرية:

$t = 58.16808110 \dots$