الرياضيات المتناهية الأمثلة

$5^{2 x} + 3 (5^{x}) = 28$

خطوة 1

أعِد كتابة $5^{2 x}$ في صورة أُس.

${(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} = 28$

خطوة 2

عوّض بقيمة $5^{x}$ التي تساوي $u$ .

$u^{2} + 3 u = 28$

خطوة 3

أوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $28$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

خطوة 3.2

حلّل $u^{2} + 3 u - 28$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 28$ ومجموعهما $3$ .

$- 4, 7$

خطوة 3.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u - 4) (u + 7) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 7 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $u - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $u - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 4 = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 4$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $u + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $u + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u + 7 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$u = - 7$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(u - 4) (u + 7) = 0$ صحيحة.

$u = 4, - 7$

خطوة 4

عوّض بـ $4$ عن $u$ في $u = 5^{x}$ .

$4 = 5^{x}$

خطوة 5

أوجِد حل $4 = 5^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5^{x} = 4$ .

$5^{x} = 4$

خطوة 5.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

خطوة 5.3

وسّع $\ln (5^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (5) = \ln (4)$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $x \ln (5) = \ln (4)$ على $\ln (5)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $x \ln (5) = \ln (4)$ على $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

خطوة 6

عوّض بـ $- 7$ عن $u$ في $u = 5^{x}$ .

$- 7 = 5^{x}$

خطوة 7

أوجِد حل $- 7 = 5^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5^{x} = - 7$ .

$5^{x} = - 7$

خطوة 7.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

خطوة 7.3

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (- 7)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 7.4

لا يوجد حل لـ $5^{x} = - 7$

لا يوجد حل

خطوة 8

اسرِد الحلول التي تجعل المعادلة صحيحة.

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

الصيغة العشرية:

$x = 0.86135311 \dots$