الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

خطوة 1

اطرح $\frac{x}{33 + x}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{x + 1}{2 - x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{x}{33 + x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(2 - x) (33 + x)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{x + 1}{2 - x}$ في $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{x}{33 + x}$ في $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(33 + x) (2 - x)$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وسّع $(x + 1) (33 + x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

انقُل $33$ إلى يسار $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.2.1.3

اضرب $33$ في $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.2.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.2.2

أضف $33 x$ و $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.6.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.6.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.6.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.7

اطرح $2 x$ من $34 x$ .

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.8

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 2.5.9

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

خطوة 4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 5

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = 32$ و $c = 33$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

ارفع $32$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 33$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $- 8$ في $33$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.1.3

اطرح $264$ من $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.1.4

أعِد كتابة $760$ بالصيغة $2^{2} \cdot 190$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $760$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

خطوة 6.3

بسّط $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

خطوة 7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

خطوة 8

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 2$

خطوة 9

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 9.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x = 2$

خطوة 10

اطرح $33$ من كلا المتعادلين.

$x = - 33$

خطوة 11

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

خطوة 12

وحّد الحلول.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

خطوة 13

أوجِد نطاق $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

خطوة 13.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

خطوة 13.2.2

عيّن قيمة العبارة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.1

عيّن قيمة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 - x = 0$

خطوة 13.2.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 2$

خطوة 13.2.2.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 13.2.2.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 13.2.2.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 13.2.2.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x = 2$

خطوة 13.2.3

عيّن قيمة العبارة $33 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.3.1

عيّن قيمة $33 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$33 + x = 0$

خطوة 13.2.3.2

اطرح $33$ من كلا المتعادلين.

$x = - 33$

خطوة 13.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 - x) (33 + x) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 33$

خطوة 13.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 14

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

خطوة 15

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 33$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 33$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 36$

خطوة 15.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 36$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

خطوة 15.1.3

الطرف الأيسر $- 0.92105263$ أصغر من الطرف الأيمن $12$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 15.2

اختبر قيمة في الفترة $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 17$

خطوة 15.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 17$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

خطوة 15.2.3

الطرف الأيسر $- 0.84210526$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 1.0625$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 15.3

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 15.3.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

خطوة 15.3.3

الطرف الأيسر $- 0.5$ أصغر من الطرف الأيمن $- 0.13793103$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 15.4

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 15.4.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

خطوة 15.4.3

الطرف الأيسر $0.5$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 15.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 15.5.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

خطوة 15.5.3

الطرف الأيسر $- 2.5$ أصغر من الطرف الأيمن $0.\overline{108}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 15.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 33$ صحيحة

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ خطأ

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ صحيحة

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ خطأ

$x > 2$ صحيحة

$x < - 33$ صحيحة

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ خطأ

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ صحيحة

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ خطأ

$x > 2$ صحيحة

خطوة 16

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 33$ أو $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ أو $x > 2$

خطوة 17

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

خطوة 18