الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 2) (2 x + 1)) = 8$

خطوة 1.2

وسّع $(x - 2) (2 x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 8$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1)) = 8$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

انقُل $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

خطوة 1.3.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\ln (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1) = 8$

خطوة 1.3.1.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 8$

خطوة 1.3.2

اطرح $4 x$ من $x$ .

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$

خطوة 2

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (2 x^{2} - 3 x - 2)} = e^{8}$

خطوة 3

أعِد كتابة $\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{8} = 2 x^{2} - 3 x - 2$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$ .

$2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$

خطوة 4.2

اطرح $e^{8}$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} - 3 x - 2 - e^{8} = 0$

خطوة 4.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.4

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = - 3$ و $c = - 2 - e^{8}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - e^{8}))}}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.5.1.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.5.1.4

اضرب $- 8$ في $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.5.1.5

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.5.1.6

أضف $9$ و $16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 4.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

خطوة 4.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}, \frac{3 - \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

خطوة 5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$ صحيحة.

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

الصيغة العشرية:

$x = 39.37695294 \dots$