الرياضيات المتناهية الأمثلة

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

خطوة 1

اكتب $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ في صورة معادلة.

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ .

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ على $20000$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ على $20000$ .

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $20000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم ${1.02}^{y}$ على $1$ .

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

خطوة 3.4

وسّع $\ln ({1.02}^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ على $\ln (1.02)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ على $\ln (1.02)$ .

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (1.02)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

خطوة 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ هي معكوس $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $P^{- 1} (P (t)) = t$ و $P (P^{- 1} (t)) = t$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $P^{- 1} (P (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$P^{- 1} (P (t))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ باستبدال قيمة $P$ في $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

خطوة 5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $20000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

خطوة 5.2.3.2

اقسِم ${(1.02)}^{t}$ على $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

خطوة 5.2.4

وسّع $\ln ({(1.02)}^{t})$ بنقل $t$ خارج اللوغاريتم.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

خطوة 5.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (1.02)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

خطوة 5.2.5.2

اقسِم $t$ على $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $P (P^{- 1} (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$P (P^{- 1} (t))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ باستبدال قيمة $P^{- 1}$ في $P$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

خطوة 5.3.3

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

خطوة 5.3.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

خطوة 5.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $20000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

خطوة 5.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

خطوة 5.4

بما أن $P^{- 1} (P (t)) = t$ و $P (P^{- 1} (t)) = t$ ، إذن $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ هي معكوس $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$