الرياضيات المتناهية الأمثلة

$8 y^{3} - 1 = 0$

خطوة 1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$8 y^{3} = 1$

خطوة 2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$8 y^{3} - 1 = 0$

خطوة 3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $8 y^{3}$ بالصيغة ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1 = 0$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1^{3} = 0$

خطوة 3.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 2 y$ و $b = 1$ .

$(2 y - 1) ({(2 y)}^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 y$ .

$(2 y - 1) (2^{2} y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1^{2}) = 0$

خطوة 3.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $2 y - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $2 y - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 y - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $y$ في $2 y - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y = 1$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $2 y = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 y = 1$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $4 y^{2} + 2 y + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $4 y^{2} + 2 y + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $y$ في $4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6.2.2

عوّض بقيم $a = 4$ و $b = 2$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.2.2

اضرب $- 16$ في $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 6.2.3.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$ صحيحة.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$