الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$

خطوة 1

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y + 2, y - 4, y + 6$

خطوة 1.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 1.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 1.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 1.5

عامل $y + 2$ هو $y + 2$ نفسها.

$(y + 2) = y + 2$

تحدث $(y + 2)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.6

عامل $y - 4$ هو $y - 4$ نفسها.

$(y - 4) = y - 4$

تحدث $(y - 4)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.7

عامل $y + 6$ هو $y + 6$ نفسها.

$(y + 6) = y + 6$

تحدث $(y + 6)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 1.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y + 2, y - 4, y + 6$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(y + 2) (y - 4) (y + 6)$

خطوة 2

اضرب كل حد في $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ في $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ في $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أخرِج العامل $y + 2$ من $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 ((y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.2

وسّع $(y - 4) (y + 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (y (y + 6) - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$4 (y^{2} + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.3.1.2

انقُل $6$ إلى يسار $y$ .

$4 (y^{2} + 6 \cdot y - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.3.1.3

اضرب $- 4$ في $6$ .

$4 (y^{2} + 6 y - 4 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.3.2

اطرح $4 y$ من $6 y$ .

$4 (y^{2} + 2 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.5.1

اضرب $2$ في $4$ .

$4 y^{2} + 8 y + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.5.2

اضرب $4$ في $- 24$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{y - 4}$ إلى بسط الكسر.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.6.2

أخرِج العامل $y - 4$ من $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 ((y + 2) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.7

وسّع $(y + 2) (y + 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y (y + 6) + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.8.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.8.1.2

انقُل $6$ إلى يسار $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.8.1.3

اضرب $2$ في $6$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 y + 2 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.8.2

أضف $6 y$ و $2 y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 8 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.9

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 2 (8 y) - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.10.1

اضرب $8$ في $- 2$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.1.10.2

اضرب $- 2$ في $12$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

اطرح $2 y^{2}$ من $4 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 8 y - 96 - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $16 y$ من $8 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 96 - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.2.2.3

اطرح $24$ من $- 96$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أخرِج العامل $y + 6$ من $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

خطوة 2.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 ((y + 2) (y - 4))$

خطوة 2.3.2

وسّع $(y + 2) (y - 4)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y (y - 4) + 2 (y - 4))$

خطوة 2.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 (y - 4))$

خطوة 2.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

خطوة 2.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

خطوة 2.3.3.1.2

انقُل $- 4$ إلى يسار $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 4)$

خطوة 2.3.3.1.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 y + 2 y - 8)$

خطوة 2.3.3.2

أضف $- 4 y$ و $2 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 2 y - 8)$

خطوة 2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} + 6 (- 2 y) + 6 \cdot - 8$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

اضرب $- 2$ في $6$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y + 6 \cdot - 8$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $6$ في $- 8$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y - 48$

خطوة 3

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اطرح $6 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} = - 12 y - 48$

خطوة 3.1.2

أضف $12 y$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} + 12 y = - 48$

خطوة 3.1.3

اطرح $6 y^{2}$ من $2 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 8 y - 120 + 12 y = - 48$

خطوة 3.1.4

أضف $- 8 y$ و $12 y$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 = - 48$

خطوة 3.2

أضف $48$ إلى كلا المتعادلين.

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 + 48 = 0$

خطوة 3.3

أضف $- 120$ و $48$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 y^{2} + 4 y - 72$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $- 4$ من $4 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 72 = 0$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $- 4$ من $- 72$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 4 \cdot 18 = 0$

خطوة 3.4.4

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 (y^{2}) - 4 (- y)$ .

$- 4 (y^{2} - y) - 4 \cdot 18 = 0$

خطوة 3.4.5

أخرِج العامل $- 4$ من $- 4 (y^{2} - y) - 4 (18)$ .

$- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ على $- 4$ .

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y^{2} - y + 18$ على $1$ .

$y^{2} - y + 18 = \frac{0}{- 4}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم $0$ على $- 4$ .

$y^{2} - y + 18 = 0$

خطوة 3.6

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.7

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 1$ و $c = 18$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.8.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.8.1.2.2

اضرب $- 4$ في $18$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.8.1.3

اطرح $72$ من $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.8.1.4

أعِد كتابة $- 71$ بالصيغة $- 1 (71)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.8.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (71)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.8.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.8.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2}$

خطوة 3.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{1 + i \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{2}$