الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

خطوة 1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد كتابة $e^{4 t}$ بالصيغة ${(e^{2 t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $e^{2 t}$ بالصيغة ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.1.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.1.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = e^{2 t}$ و $b = e^{t}$ .

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $e^{2 t}$ بالصيغة ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.3

لنفترض أن $u = e^{t}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $e^{t}$ .

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.4

أخرِج العامل $u$ من $u^{2} + u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أخرِج العامل $u$ من $u^{2}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.4.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.4.3

أخرِج العامل $u$ من $u^{1}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.4.4

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{t}$ .

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.6

طبّق قاعدة الضرب على $e^{t} (e^{t} + 1)$ .

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.7

اضرب الأُسس في ${(e^{t})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 1.7.2

انقُل $2$ إلى يسار $t$ .

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{2 t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

خطوة 2.1.2

اقسِم ${(e^{t} + 1)}^{2}$ على $1$ .

${(e^{t} + 1)}^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${(e^{t} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

خطوة 3

وسّع $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

خطوة 4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $e^{t}$ في $e^{t}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.1.2

أضف $t$ و $t$ .

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.2

اضرب $e^{t}$ في $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.3

اضرب $e^{t}$ في $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

خطوة 4.2

أضف $e^{t}$ و $e^{t}$ .

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$