الرياضيات المتناهية الأمثلة

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

خطوة 1

بما أن الجذر يقع على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث يصبح على المتعادل الأيسر.

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

خطوة 2

لحذف الجذر في الطرف الأيسر للمتباينة، ربّع كلا طرفي المتباينة.

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

خطوة 3

بسّط كل طرف من طرفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{10 - x^{2}}$ في صورة ${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

خطوة 3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

خطوة 3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط ${(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد كتابة ${(x + 2)}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x + 2)$ .

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

خطوة 3.3.1.2

وسّع $(x + 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

خطوة 3.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

خطوة 3.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

خطوة 3.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

خطوة 3.3.1.3.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

خطوة 3.3.1.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

خطوة 3.3.1.3.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد الكتابة بحيث تصبح $x$ في الطرف الأيسر للمتباينة.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى الطرف الأيسر للمتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضِف $x^{2}$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

خطوة 4.2.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

خطوة 4.3

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

خطوة 4.4

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

خطوة 4.5

اطرح $10$ من $4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

خطوة 4.6

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 4 x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

خطوة 4.6.1.2

أخرِج العامل $2$ من $4 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

خطوة 4.6.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

خطوة 4.6.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 (2 x)$ .

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

خطوة 4.6.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ .

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

خطوة 4.6.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

حلّل $x^{2} + 2 x - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $2$ .

$- 1, 3$

خطوة 4.6.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

خطوة 4.6.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

خطوة 4.7

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

خطوة 4.8

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 4.8.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 4.9

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 4.9.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 4.10

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x - 1) (x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 1, - 3$

خطوة 5

أوجِد نطاق $x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{10 - x^{2}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$10 - x^{2} \geq 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $10$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} \geq - 10$

خطوة 5.2.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 10$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 10$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

خطوة 5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

خطوة 5.2.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

خطوة 5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

اقسِم $- 10$ على $- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

خطوة 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

خطوة 5.2.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{10}$

خطوة 5.2.5

اكتب $| x | \leq \sqrt{10}$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 5.2.5.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq \sqrt{10}$

خطوة 5.2.5.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 5.2.5.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{10}$

خطوة 5.2.5.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

خطوة 5.2.6

أوجِد التقاطع بين $x \leq \sqrt{10}$ و $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

خطوة 5.2.7

أوجِد حل $- x \leq \sqrt{10}$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

اقسِم كل حد في $- x \leq \sqrt{10}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq \sqrt{10}$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

خطوة 5.2.7.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

خطوة 5.2.7.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

خطوة 5.2.7.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1.3.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

خطوة 5.2.7.1.3.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \sqrt{10}$ بالصيغة $- \sqrt{10}$ .

$x \geq - \sqrt{10}$

خطوة 5.2.7.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq - \sqrt{10}$ و $x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

خطوة 5.2.8

أوجِد اتحاد الحلول.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

خطوة 5.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

خطوة 6

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

خطوة 7

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - \sqrt{10}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - \sqrt{10}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 7.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

خطوة 7.1.3

الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 7.2

اختبر قيمة في الفترة $- \sqrt{10} < x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اختر قيمة من الفترة $- \sqrt{10} < x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 3.08$

خطوة 7.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 3.08$ في المتباينة الأصلية.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

خطوة 7.2.3

الطرف الأيسر $- 1.08$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0.71665891$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 7.3

اختبر قيمة في الفترة $- 3 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اختر قيمة من الفترة $- 3 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 7.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

خطوة 7.3.3

الطرف الأيسر $2$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $3.16227766$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 7.4

اختبر قيمة في الفترة $1 < x < \sqrt{10}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اختر قيمة من الفترة $1 < x < \sqrt{10}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 7.4.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

خطوة 7.4.3

الطرف الأيسر $4$ أكبر من الطرف الأيمن $2.44948974$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 7.5

اختبر قيمة في الفترة $x > \sqrt{10}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > \sqrt{10}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 7.5.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

خطوة 7.5.3

الطرف الأيسر لا يساوي الطرف الأيمن، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 7.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - \sqrt{10}$ خطأ

$- \sqrt{10} < x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < 1$ خطأ

$1 < x < \sqrt{10}$ صحيحة

$x > \sqrt{10}$ خطأ

$x < - \sqrt{10}$ خطأ

$- \sqrt{10} < x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < 1$ خطأ

$1 < x < \sqrt{10}$ صحيحة

$x > \sqrt{10}$ خطأ

خطوة 8

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$1 < x < \sqrt{10}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$1 < x < \sqrt{10}$

ترميز الفترة:

$(1, \sqrt{10})$

خطوة 10