الرياضيات المتناهية الأمثلة

log (x - 2) - log (2 x + 1) = log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

خطوة 1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات،

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = log (\frac{1}{x})

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

خطوة 2

لكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن يتساوى المتغير المستقل للوغاريتمات في كلا المتعادلين.

\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

خطوة 3

أوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب بسط الكسر الأول في قاسم الكسر الثاني. وعيّن قيمة الناتج بحيث تساوي حاصل ضرب قاسم الكسر الأول في بسط الكسر الثاني.

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة

x

$x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط

(x - 2) x

$(x - 2) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أعِد الكتابة.

0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.1.4

اضرب

x

$x$ في

x

$x$ .

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.2

اضرب

2 x + 1

$2 x + 1$ في

1

$1$ .

x^{2} - 2 x = 2 x + 1

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

خطوة 3.2.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على

x

$x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اطرح

2 x

$2 x$ من كلا المتعادلين.

x^{2} - 2 x - 2 x = 1

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

خطوة 3.2.3.2

اطرح

2 x

$2 x$ من

- 2 x

$- 2 x$ .

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

خطوة 3.2.4

اطرح

1

$1$ من كلا المتعادلين.

x^{2} - 4 x - 1 = 0

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

خطوة 3.2.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.2.6

عوّض بقيم

a = 1

$a = 1$ و

b = - 4

$b = - 4$ و

c = - 1

$c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة

x

$x$ .

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.1

ارفع

- 4

$- 4$ إلى القوة

2

$2$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.2

اضرب

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.2.1

اضرب

- 4

$- 4$ في

1

$1$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.2.2

اضرب

- 4

$- 4$ في

- 1

$- 1$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.3

أضف

16

$16$ و

4

$4$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.4

أعِد كتابة

20

$20$ بالصيغة

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.4.1

أخرِج العامل

4

$4$ من

20

$20$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.4.2

أعِد كتابة

4

$4$ بالصيغة

2^{2}

$2^{2}$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.2

اضرب

2

$2$ في

1

$1$ .

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 3.2.7.3

بسّط

\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

خطوة 3.2.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

خطوة 4

استبعِد الحلول التي لا تجعل

log (x - 2) - log (2 x + 1) = log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ صحيحة.

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

الصيغة العشرية:

x = 4.23606797 \dots

$x = 4.23606797 \dots$