الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

خطوة 1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات،

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

خطوة 2

لكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن يتساوى المتغير المستقل للوغاريتمات في كلا المتعادلين.

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

خطوة 3

أوجِد قيمة

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب بسط الكسر الأول في قاسم الكسر الثاني. وعيّن قيمة الناتج بحيث تساوي حاصل ضرب قاسم الكسر الأول في بسط الكسر الثاني.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة

$x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط

$(x - 2) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.1.4

اضرب

$x$ في

$x$ .

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.2

اضرب

$2 x + 1$ في

$1$ .

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

خطوة 3.2.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على

$x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اطرح

$2 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

خطوة 3.2.3.2

اطرح

$2 x$ من

$- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x = 1$

خطوة 3.2.4

اطرح

$1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

خطوة 3.2.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.2.6

عوّض بقيم

$a = 1$ و

$b = - 4$ و

$c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة

$x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.1

ارفع

$- 4$ إلى القوة

$2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.2

اضرب

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.2.1

اضرب

$- 4$ في

$1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.2.2

اضرب

$- 4$ في

$- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.3

أضف

$16$ و

$4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.4

أعِد كتابة

$20$ بالصيغة

$2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.4.1

أخرِج العامل

$4$ من

$20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.4.2

أعِد كتابة

$4$ بالصيغة

$2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.2

اضرب

$2$ في

$1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 3.2.7.3

بسّط

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

خطوة 3.2.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

خطوة 4

استبعِد الحلول التي لا تجعل

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ صحيحة.

$x = 2 + \sqrt{5}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = 2 + \sqrt{5}$

الصيغة العشرية:

$x = 4.23606797 \dots$