الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

خطوة 1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

خطوة 2

لكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن يتساوى المتغير المستقل للوغاريتمات في كلا المتعادلين.

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب بسط الكسر الأول في قاسم الكسر الثاني. وعيّن قيمة الناتج بحيث تساوي حاصل ضرب قاسم الكسر الأول في بسط الكسر الثاني.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $(x - 2) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أعِد الكتابة.

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.1.2

بسّط بجمع الأصفار.

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

خطوة 3.2.2

اضرب $2 x + 1$ في $1$ .

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

خطوة 3.2.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

خطوة 3.2.3.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x = 1$

خطوة 3.2.4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

خطوة 3.2.5

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.2.6

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 4$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.3

أضف $16$ و $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 3.2.7.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

خطوة 3.2.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

خطوة 4

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ صحيحة.

$x = 2 + \sqrt{5}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = 2 + \sqrt{5}$

الصيغة العشرية:

$x = 4.23606797 \dots$