الرياضيات المتناهية الأمثلة

$5 \sin (x) + 2 \cos (x) = 5$

خطوة 1

استخدِم المتطابقة لحل المعادلة. في هذه المتطابقة، تمثل $θ$ الزاوية الناتجة عن تعيين النقطة $(a, b)$ على الرسم البياني، ومن ثمَّ يمكن إيجادها باستخدام $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ حيث $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ و $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

خطوة 2

عيّن المعادلة لإيجاد قيمة $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{2}{5})$

خطوة 3

احسِب قيمة $\tan^{-1} (\frac{2}{5})$ .

$θ = 0.38050637$

خطوة 4

أوجِد قيمة $R$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{25 + {(2)}^{2}}$

خطوة 4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$R = \sqrt{25 + 4}$

خطوة 4.3

أضف $25$ و $4$ .

$R = \sqrt{29}$

خطوة 5

عوّض بالقيم المعروفة في المعادلة.

$(\sqrt{29}) \sin (x + 0.38050637) = 5$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ على $\sqrt{29}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637) = 5$ على $\sqrt{29}$ .

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sqrt{29}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{29} \sin (x + 0.38050637)}{\sqrt{29}} = \frac{5}{\sqrt{29}}$

خطوة 6.2.1.2

اقسِم $\sin (x + 0.38050637)$ على $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $\frac{5}{\sqrt{29}}$ في $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$

خطوة 6.3.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اضرب $\frac{5}{\sqrt{29}}$ في $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}$

خطوة 6.3.2.2

ارفع $\sqrt{29}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}}$

خطوة 6.3.2.3

ارفع $\sqrt{29}$ إلى القوة $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}}$

خطوة 6.3.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}$

خطوة 6.3.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}$

خطوة 6.3.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{29}}^{2}$ بالصيغة $29$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{29}$ في صورة $29^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6.3.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 6.3.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 6.3.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29^{1}}$

خطوة 6.3.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sin (x + 0.38050637) = \frac{5 \sqrt{29}}{29}$

خطوة 7

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x + 0.38050637 = \sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$

خطوة 8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\sin^{-1} (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$ .

$x + 0.38050637 = 1.19028994$

خطوة 9

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح $0.38050637$ من كلا المتعادلين.

$x = 1.19028994 - 0.38050637$

خطوة 9.2

اطرح $0.38050637$ من $1.19028994$ .

$x = 0.80978357$

خطوة 10

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x + 0.38050637 = (3.14159265) - 1.19028994$

خطوة 11

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اطرح $1.19028994$ من $3.14159265$ .

$x + 0.38050637 = 1.9513027$

خطوة 11.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اطرح $0.38050637$ من كلا المتعادلين.

$x = 1.9513027 - 0.38050637$

خطوة 11.2.2

اطرح $0.38050637$ من $1.9513027$ .

$x = 1.57079632$

خطوة 12

أوجِد فترة $\sin (x + 0.38050637)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 13

فترة دالة $\sin (x + 0.38050637)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 0.80978357 + 2 π n, 1.57079632 + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$