الرياضيات المتناهية الأمثلة

$5 \ln (8 x) = 20 - 2 \ln (x)$

خطوة 1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x) = 20$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $5 \ln (8 x) + 2 \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

بسّط $5 \ln (8 x)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$\ln ({(8 x)}^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

خطوة 2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $8 x$ .

$\ln (8^{5} x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

خطوة 2.1.1.3

ارفع $8$ إلى القوة $5$ .

$\ln (32768 x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

خطوة 2.1.1.4

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\ln (32768 x^{5}) + \ln (x^{2}) = 20$

خطوة 2.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (32768 x^{5} x^{2}) = 20$

خطوة 2.1.3

اضرب $x^{5}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

انقُل $x^{2}$ .

$\ln (32768 (x^{2} x^{5})) = 20$

خطوة 2.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (32768 x^{2 + 5}) = 20$

خطوة 2.1.3.3

أضف $2$ و $5$ .

$\ln (32768 x^{7}) = 20$

خطوة 3

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (32768 x^{7})} = e^{20}$

خطوة 4

أعِد كتابة $\ln (32768 x^{7}) = 20$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{20} = 32768 x^{7}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $32768 x^{7} = e^{20}$ .

$32768 x^{7} = e^{20}$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $32768 x^{7} = e^{20}$ على $32768$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $32768 x^{7} = e^{20}$ على $32768$ .

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $32768$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $x^{7}$ على $1$ .

$x^{7} = \frac{e^{20}}{32768}$

خطوة 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$

خطوة 5.4

بسّط $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أعِد كتابة $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$

خطوة 5.4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أعِد كتابة $e^{20}$ بالصيغة ${(e^{2})}^{7} e^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

أخرِج عامل $e^{14}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{14} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة $e^{14}$ بالصيغة ${(e^{2})}^{7}$ .

$x = \frac{\sqrt[7]{{(e^{2})}^{7} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

خطوة 5.4.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

خطوة 5.4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

أعِد كتابة $32768$ بالصيغة $4^{7} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

أخرِج العامل $16384$ من $32768$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{16384 (2)}}$

خطوة 5.4.3.1.2

أعِد كتابة $16384$ بالصيغة $4^{7}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 2}}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$

خطوة 5.4.4

اضرب $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$

خطوة 5.4.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.1

اضرب $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ في $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6}}$

خطوة 5.4.5.2

انقُل $\sqrt[7]{2}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

خطوة 5.4.5.3

ارفع $\sqrt[7]{2}$ إلى القوة $1$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{2}}^{1} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

خطوة 5.4.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{1 + 6}}$

خطوة 5.4.5.5

أضف $1$ و $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{7}}$

خطوة 5.4.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[7]{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{7}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {(2^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

خطوة 5.4.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

خطوة 5.4.5.6.3

اجمع $\frac{1}{7}$ و $7$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

خطوة 5.4.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

خطوة 5.4.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{1}}$

خطوة 5.4.5.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2}$

خطوة 5.4.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.6.1

أعِد كتابة ${\sqrt[7]{2}}^{6}$ بالصيغة $\sqrt[7]{2^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{2^{6}}}{4 \cdot 2}$

خطوة 5.4.6.2

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{64}}{4 \cdot 2}$

خطوة 5.4.6.3

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{4 \cdot 2}$

خطوة 5.4.7

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

الصيغة العشرية:

$x = 3.94254900 \dots$