الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{x - 2}{3} < \frac{5}{x}$

خطوة 1

اطرح $\frac{5}{x}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x} < 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{x - 2}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} < 0$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{5}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $3 x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{x - 2}{3}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{5}{x}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} < 0$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $x \cdot 3$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{3 x} < 0$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x - 2) x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

خطوة 2.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

خطوة 2.5.3

اضرب $- 5$ في $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{3 x} < 0$

خطوة 2.5.4

حلّل $x^{2} - 2 x - 15$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 15$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 5, 3$

خطوة 2.5.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x} < 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$3 x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $3 x = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $3 x = 0$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$x = 0$

خطوة 5

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 6

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 7

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 0$

$x = 5$

$x = - 3$

خطوة 8

وحّد الحلول.

$x = 0, 5, - 3$

خطوة 9

أوجِد نطاق $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$3 x = 0$

خطوة 9.2

اقسِم كل حد في $3 x = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 0$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 9.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 9.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

خطوة 9.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$x = 0$

خطوة 9.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 10

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

خطوة 11

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 11.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 6) - 2}{3} < \frac{5}{- 6}$

خطوة 11.1.3

الطرف الأيسر $- 2.\overline{6}$ أصغر من الطرف الأيمن $- 0.8\overline{3}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.2

اختبر قيمة في الفترة $- 3 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 3 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 11.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 2) - 2}{3} < \frac{5}{- 2}$

خطوة 11.2.3

الطرف الأيسر $- 1.\overline{3}$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 2.5$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.3

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 5$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 5$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 11.3.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(2) - 2}{3} < \frac{5}{2}$

خطوة 11.3.3

الطرف الأيسر $0$ أصغر من الطرف الأيمن $2.5$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 5$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 5$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 8$

خطوة 11.4.2

استبدِل $x$ بـ $8$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(8) - 2}{3} < \frac{5}{8}$

خطوة 11.4.3

الطرف الأيسر $2$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0.625$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 3$ صحيحة

$- 3 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 5$ صحيحة

$x > 5$ خطأ

$x < - 3$ صحيحة

$- 3 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 5$ صحيحة

$x > 5$ خطأ

خطوة 12

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 3$ أو $0 < x < 5$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$x < - 3 or 0 < x < 5$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 3) \cup (0, 5)$

خطوة 14