الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 1) (x + 119)) = 4$

خطوة 1.2

وسّع $(x - 1) (x + 119)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\log_{5} (x (x + 119) - 1 (x + 119)) = 4$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 (x + 119)) = 4$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

خطوة 1.3.1.2

انقُل $119$ إلى يسار $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

خطوة 1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 1 \cdot 119) = 4$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $- 1$ في $119$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 119) = 4$

خطوة 1.3.2

اطرح $x$ من $119 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$

خطوة 2

أعِد كتابة $\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$5^{4} = x^{2} + 118 x - 119$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$

خطوة 3.2

ارفع $5$ إلى القوة $4$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 625$

خطوة 3.3

اطرح $625$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 118 x - 119 - 625 = 0$

خطوة 3.4

اطرح $625$ من $- 119$ .

$x^{2} + 118 x - 744 = 0$

خطوة 3.5

حلّل $x^{2} + 118 x - 744$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 744$ ومجموعهما $118$ .

$- 6, 124$

خطوة 3.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 6) (x + 124) = 0$

خطوة 3.6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 124 = 0$

خطوة 3.7

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 3.7.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 3.8

عيّن قيمة العبارة $x + 124$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

عيّن قيمة $x + 124$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 124 = 0$

خطوة 3.8.2

اطرح $124$ من كلا المتعادلين.

$x = - 124$

خطوة 3.9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 6) (x + 124) = 0$ صحيحة.

$x = 6, - 124$

خطوة 4

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$ صحيحة.

$x = 6$