الرياضيات المتناهية الأمثلة

\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

خطوة 2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة

9

$9$ بالصيغة

3^{2}

$3^{2}$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين،

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث

a = x

$a = x$ و

b = 3

$b = 3$ .

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

خطوة 3

عيّن قيمة المجذور في

\sqrt{4 - x}

$\sqrt{4 - x}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي

0

$0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

4 - x \geq 0

$4 - x \geq 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح

4

$4$ من كلا طرفي المتباينة.

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ على

- 1

$- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في

- x \geq - 4

$- x \geq - 4$ على

- 1

$- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم

x

$x$ على

1

$1$ .

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

x \leq \frac{- 4}{- 1}

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اقسِم

- 4

$- 4$ على

- 1

$- 1$ .

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

x \leq 4

$x \leq 4$

خطوة 5

عيّن قيمة المجذور في

\sqrt{(x + 3) (x - 3)}

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي

0

$0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

0

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

خطوة 6.2

عيّن قيمة العبارة

x + 3

$x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن قيمة

x + 3

$x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

خطوة 6.2.2

اطرح

3

$3$ من كلا المتعادلين.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

خطوة 6.3

عيّن قيمة العبارة

x - 3

$x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

عيّن قيمة

x - 3

$x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

x - 3 = 0

$x - 3 = 0$

خطوة 6.3.2

أضف

3

$3$ إلى كلا المتعادلين.

x = 3

$x = 3$

x = 3

$x = 3$

خطوة 6.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

(x + 3) (x - 3) \geq 0

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$ صحيحة.

x = - 3, 3

$x = - 3, 3$

خطوة 6.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$

x > 3

$x > 3$

خطوة 6.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اختبر قيمة في الفترة

x < - 3

$x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

اختر قيمة من الفترة

x < - 3

$x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

x = - 6

$x = - 6$

خطوة 6.6.1.2

استبدِل

x

$x$ بـ

- 6

$- 6$ في المتباينة الأصلية.

((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

خطوة 6.6.1.3

الطرف الأيسر

27

$27$ أكبر من الطرف الأيمن

0

$0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 6.6.2

اختبر قيمة في الفترة

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.2.1

اختر قيمة من الفترة

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

x = 0

$x = 0$

خطوة 6.6.2.2

استبدِل

x

$x$ بـ

0

$0$ في المتباينة الأصلية.

((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

خطوة 6.6.2.3

الطرف الأيسر

- 9

$- 9$ أصغر من الطرف الأيمن

0

$0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 6.6.3

اختبر قيمة في الفترة

x > 3

$x > 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

اختر قيمة من الفترة

x > 3

$x > 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

x = 6

$x = 6$

خطوة 6.6.3.2

استبدِل

x

$x$ بـ

6

$6$ في المتباينة الأصلية.

((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

خطوة 6.6.3.3

الطرف الأيسر

27

$27$ أكبر من الطرف الأيمن

0

$0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 6.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

x < - 3

$x < - 3$ صحيحة

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ خطأ

x > 3

$x > 3$ صحيحة

x < - 3

$x < - 3$ صحيحة

- 3 < x < 3

$- 3 < x < 3$ خطأ

x > 3

$x > 3$ صحيحة

خطوة 6.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

x \leq - 3

$x \leq - 3$ أو

x \geq 3

$x \geq 3$

x \leq - 3

$x \leq - 3$ أو

x \geq 3

$x \geq 3$

خطوة 7

النطاق هو جميع قيم

x

$x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

(- \infty, - 3] \cup [3, 4]

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

ترميز بناء المجموعات:

{x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

خطوة 8

المدى هو مجموعة جميع قيم

y

$y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

لا يوجد حل

خطوة 9

حدد النطاق والمدى.

لا يوجد حل

خطوة 10