الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

خطوة 1

اطرح $\frac{x^{2}}{225}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

خطوة 2

اضرب كلا المتعادلين في $625$ .

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

خطوة 3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $625$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

خطوة 3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط $625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $625$ في $1$ .

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

خطوة 3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x^{2}}{225}$ إلى بسط الكسر.

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

خطوة 3.2.1.3.2

أخرِج العامل $25$ من $625$ .

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

خطوة 3.2.1.3.3

أخرِج العامل $25$ من $225$ .

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

خطوة 3.2.1.3.4

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

خطوة 3.2.1.3.5

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

خطوة 3.2.1.4

اجمع $25$ و $\frac{- x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

خطوة 3.2.1.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $25$ .

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

خطوة 3.2.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

خطوة 4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اكتب العبارة باستخدام الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد كتابة $625$ بالصيغة $25^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $\frac{25 x^{2}}{9}$ بالصيغة ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

خطوة 5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 25$ و $b = \frac{5 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.3

لكتابة $25$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $25$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $5$ من $25 \cdot 3 + 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أخرِج العامل $5$ من $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.5.1.2

أخرِج العامل $5$ من $5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.5.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.5.2

اضرب $5$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.6

لكتابة $25$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $25$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

خطوة 5.7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

خطوة 5.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أخرِج العامل $5$ من $25 \cdot 3 - 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1.1

أخرِج العامل $5$ من $25 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

خطوة 5.8.1.2

أخرِج العامل $5$ من $- 5 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

خطوة 5.8.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

خطوة 5.8.2

اضرب $5$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

خطوة 5.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اضرب $\frac{5 (15 + x)}{3}$ في $\frac{5 (15 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

خطوة 5.9.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.2.1

اضرب $5$ في $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

خطوة 5.9.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

خطوة 5.10

أعِد كتابة $\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ بالصيغة ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $5^{2}$ من $25 (15 + x) (15 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

خطوة 5.10.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $3^{2}$ من $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

خطوة 5.10.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

خطوة 5.11

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

خطوة 5.12

اجمع $\frac{5}{3}$ و $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

خطوة 6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

خطوة 6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

خطوة 6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

خطوة 7

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

خطوة 8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

خطوة 8.2

عيّن قيمة العبارة $15 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عيّن قيمة $15 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$15 + x = 0$

خطوة 8.2.2

اطرح $15$ من كلا المتعادلين.

$x = - 15$

خطوة 8.3

عيّن قيمة العبارة $15 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عيّن قيمة $15 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$15 - x = 0$

خطوة 8.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $15 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اطرح $15$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 15$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 15$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 15$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 15}{- 1}$

خطوة 8.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.2.3.1

اقسِم $- 15$ على $- 1$ .

$x = 15$

خطوة 8.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(15 + x) (15 - x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 15, 15$

خطوة 8.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

خطوة 8.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 15$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 15$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 18$

خطوة 8.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 18$ في المتباينة الأصلية.

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

خطوة 8.6.1.3

الطرف الأيسر $- 99$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 8.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 15 < x < 15$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 15 < x < 15$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 8.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

خطوة 8.6.2.3

الطرف الأيسر $225$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 8.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 15$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 15$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 18$

خطوة 8.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $18$ في المتباينة الأصلية.

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

خطوة 8.6.3.3

الطرف الأيسر $- 99$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 8.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 15$ خطأ

$- 15 < x < 15$ صحيحة

$x > 15$ خطأ

$x < - 15$ خطأ

$- 15 < x < 15$ صحيحة

$x > 15$ خطأ

خطوة 8.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 15 \leq x \leq 15$

خطوة 9

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$[- 15, 15]$

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

خطوة 10

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[- 25, 25]$

ترميز بناء المجموعات:

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

خطوة 11

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

المدى: $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

خطوة 12