الرياضيات المتناهية الأمثلة

$(9, 8)$ , $(9, 3)$

خطوة 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

خطوة 2

Find the dot product.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

اضرب $9$ في $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $8$ في $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

خطوة 2.2.2

أضف $81$ و $24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

خطوة 3

أوجِد مقدار $a⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

خطوة 3.2.2

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

خطوة 3.2.3

أضف $81$ و $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

خطوة 4

أوجِد مقدار $b⃗$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

خطوة 4.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

خطوة 4.2.3

أضف $81$ و $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $90$ بالصيغة $3^{2} \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أخرِج العامل $9$ من $90$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

خطوة 4.2.4.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

خطوة 4.2.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

خطوة 5

عوّض بالقيم في القاعدة.

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $105$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $3$ من $105$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

خطوة 6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

خطوة 6.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

خطوة 6.2.2

اضرب $145$ في $10$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

خطوة 6.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أعِد كتابة $1450$ بالصيغة $5^{2} \cdot 58$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

أخرِج العامل $25$ من $1450$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

خطوة 6.3.1.2

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

خطوة 6.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

خطوة 6.4

احذِف العامل المشترك لـ $35$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

أخرِج العامل $5$ من $35$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

خطوة 6.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \sqrt{58}$ .

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

خطوة 6.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

خطوة 6.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

خطوة 6.5

اضرب $\frac{7}{\sqrt{58}}$ في $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

خطوة 6.6

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب $\frac{7}{\sqrt{58}}$ في $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

خطوة 6.6.2

ارفع $\sqrt{58}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

خطوة 6.6.3

ارفع $\sqrt{58}$ إلى القوة $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

خطوة 6.6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

خطوة 6.6.5

أضف $1$ و $1$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

خطوة 6.6.6

أعِد كتابة ${\sqrt{58}}^{2}$ بالصيغة $58$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{58}$ في صورة $58^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 6.6.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

خطوة 6.6.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.6.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

خطوة 6.6.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

خطوة 6.6.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

خطوة 6.7

احسِب قيمة $\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ .

$θ = 23.19859051$