الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\int \sin^{2} (1 - x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 1 - x$ . إذن $d u_{1} = - d x$ ، لذا $- d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 1 - x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 1.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int - \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 3

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$- \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 8

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 8.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 9

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 11

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

خطوة 12

بسّط.

$- \frac{1}{2} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 13

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 - x$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

خطوة 13.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

خطوة 13.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 - x$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 (1 - x))) + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 1 + 2 (- x))) + C$

خطوة 14.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 + 2 (- x))) + C$

خطوة 14.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 - 2 x)) + C$

خطوة 14.1.4

اجمع $\sin (2 - 2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

خطوة 14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

خطوة 14.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

خطوة 14.3.2

اضرب $- \frac{1}{2} (- x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

خطوة 14.3.2.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

خطوة 14.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

خطوة 14.3.3

اضرب $- \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

خطوة 14.3.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

خطوة 14.3.3.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 - 2 x)}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 14.3.3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{4} + C$

خطوة 15

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 - 2 x) + C$