الرياضيات المتناهية الأمثلة

$- 4 - 9 y - z = - 20$ , $- 8 x - 6 y - 2 z = 16$ , $6 x + 9 y + 2 = 22$

خطوة 1

Move variables to the left and constant terms to the right.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على متغير إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$- 9 y - z = - 20 + 4$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y + 2 = 22$

خطوة 1.1.2

أضف $- 20$ و $4$ .

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y + 2 = 22$

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y + 2 = 22$

خطوة 1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على متغير إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y = 22 - 2$

خطوة 1.2.2

اطرح $2$ من $22$ .

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y = 20$

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y = 20$

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y = 20$

خطوة 2

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ - 8 & - 6 & - 2 & 16 \\ 6 & 9 & 0 & 20 \end{array}]$

خطوة 3

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 8 & - 6 & - 2 & 16 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 6 & 9 & 0 & 20 \end{array}]$

خطوة 3.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot 16 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 6 & 9 & 0 & 20 \end{array}]$

خطوة 3.2.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 6 & 9 & 0 & 20 \end{array}]$

خطوة 3.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 9 - 6 (\frac{3}{4}) & 0 - 6 (\frac{1}{4}) & 20 - 6 \cdot - 2 \end{array}]$

خطوة 3.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 0 & \frac{9}{2} & - \frac{3}{2} & 32 \end{array}]$

خطوة 3.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot - 16 \\ 0 & \frac{9}{2} & - \frac{3}{2} & 32 \end{array}]$

خطوة 3.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ 0 & \frac{9}{2} & - \frac{3}{2} & 32 \end{array}]$

خطوة 3.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{9}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{9}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9} & 32 - \frac{9}{2} \cdot \frac{16}{9} \end{array}]$

خطوة 3.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & - 2 & 24 \end{array}]$

خطوة 3.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 24 \end{array}]$

خطوة 3.6.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

خطوة 3.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{9} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{9} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 - \frac{1}{9} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1 & \frac{16}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

خطوة 3.7.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

خطوة 3.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & - 2 - \frac{1}{4} \cdot - 12 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

خطوة 3.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

خطوة 3.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{4} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{28}{9} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

خطوة 3.9.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

خطوة 4

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = - \frac{4}{3}$

$y = \frac{28}{9}$

$z = - 12$

خطوة 5

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(- \frac{4}{3}, \frac{28}{9}, - 12)$