الرياضيات المتناهية الأمثلة

$[\begin{array}{c} 3 & 7 & 6 \\ - 1 & 0 & 2 \\ 5 & 3 & - 7 \end{array}]$

خطوة 1

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 & 6 \\ 3 & - 7 \end{array} |$

خطوة 1.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 7 & 6 \\ 3 & - 7 \end{array} |$

خطوة 1.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

خطوة 1.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 5 & - 7 \end{array} |$

خطوة 1.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 5 & 3 \end{array} |$

خطوة 1.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 5 & 3 \end{array} |$

خطوة 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 7 & 6 \\ 3 & - 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 5 & - 7 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 5 & 3 \end{array} |$

خطوة 1.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 3 & 6 \\ 5 & - 7 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 7 & 6 \\ 3 & - 7 \end{array} | + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 5 & 3 \end{array} |$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 7 & 6 \\ 3 & - 7 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (7 \cdot - 7 - 3 \cdot 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 5 & 3 \end{array} |$

خطوة 1.3.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اضرب $7$ في $- 7$ .

$1 (- 49 - 3 \cdot 6) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 5 & 3 \end{array} |$

خطوة 1.3.2.1.2

اضرب $- 3$ في $6$ .

$1 (- 49 - 18) + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 5 & 3 \end{array} |$

خطوة 1.3.2.2

اطرح $18$ من $- 49$ .

$1 \cdot - 67 + 0 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 5 & 3 \end{array} |$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 3 & 7 \\ 5 & 3 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 67 + 0 - 2 (3 \cdot 3 - 5 \cdot 7)$

خطوة 1.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

اضرب $3$ في $3$ .

$1 \cdot - 67 + 0 - 2 (9 - 5 \cdot 7)$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب $- 5$ في $7$ .

$1 \cdot - 67 + 0 - 2 (9 - 35)$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $35$ من $9$ .

$1 \cdot - 67 + 0 - 2 \cdot - 26$

خطوة 1.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $- 67$ في $1$ .

$- 67 + 0 - 2 \cdot - 26$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 2$ في $- 26$ .

$- 67 + 0 + 52$

خطوة 1.5.2

أضف $- 67$ و $0$ .

$- 67 + 52$

خطوة 1.5.3

أضف $- 67$ و $52$ .

$- 15$

خطوة 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 3 & 7 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & - 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{7}{3} & \frac{6}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ - 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & - 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & - 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{7}{3} & 2 + 1 \cdot 2 & 0 + \frac{1}{3} & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 5 & 3 & - 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & 4 & \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 5 & 3 & - 7 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & 4 & \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 5 - 5 \cdot 1 & 3 - 5 (\frac{7}{3}) & - 7 - 5 \cdot 2 & 0 - 5 (\frac{1}{3}) & 0 - 5 \cdot 0 & 1 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{7}{3} & 4 & \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{26}{3} & - 17 & - \frac{5}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{3}{7} \cdot 0 & \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} & \frac{3}{7} \cdot 4 & \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3} & \frac{3}{7} \cdot 1 & \frac{3}{7} \cdot 0 \\ 0 & - \frac{26}{3} & - 17 & - \frac{5}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{12}{7} & \frac{1}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - \frac{26}{3} & - 17 & - \frac{5}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{26}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + \frac{26}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{12}{7} & \frac{1}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 + \frac{26}{3} \cdot 0 & - \frac{26}{3} + \frac{26}{3} \cdot 1 & - 17 + \frac{26}{3} \cdot \frac{12}{7} & - \frac{5}{3} + \frac{26}{3} \cdot \frac{1}{7} & 0 + \frac{26}{3} \cdot \frac{3}{7} & 1 + \frac{26}{3} \cdot 0 \end{array}]$

خطوة 4.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{12}{7} & \frac{1}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{15}{7} & - \frac{3}{7} & \frac{26}{7} & 1 \end{array}]$

خطوة 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{7}{15}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{7}{15}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{12}{7} & \frac{1}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ - \frac{7}{15} \cdot 0 & - \frac{7}{15} \cdot 0 & - \frac{7}{15} (- \frac{15}{7}) & - \frac{7}{15} (- \frac{3}{7}) & - \frac{7}{15} \cdot \frac{26}{7} & - \frac{7}{15} \cdot 1 \end{array}]$

خطوة 4.6.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{12}{7} & \frac{1}{7} & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & - \frac{26}{15} & - \frac{7}{15} \end{array}]$

خطوة 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{12}{7} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{12}{7} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{12}{7} \cdot 0 & 1 - \frac{12}{7} \cdot 0 & \frac{12}{7} - \frac{12}{7} \cdot 1 & \frac{1}{7} - \frac{12}{7} \cdot \frac{1}{5} & \frac{3}{7} - \frac{12}{7} (- \frac{26}{15}) & 0 - \frac{12}{7} (- \frac{7}{15}) \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & - \frac{26}{15} & - \frac{7}{15} \end{array}]$

خطوة 4.7.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{17}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & - \frac{26}{15} & - \frac{7}{15} \end{array}]$

خطوة 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & \frac{7}{3} - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{5}) & 0 - 2 (- \frac{26}{15}) & 0 - 2 (- \frac{7}{15}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{17}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & - \frac{26}{15} & - \frac{7}{15} \end{array}]$

خطوة 4.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{7}{3} & 0 & - \frac{1}{15} & \frac{52}{15} & \frac{14}{15} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{17}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & - \frac{26}{15} & - \frac{7}{15} \end{array}]$

خطوة 4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{7}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{7}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{7}{3} \cdot 0 & \frac{7}{3} - \frac{7}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{7}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{15} - \frac{7}{3} (- \frac{1}{5}) & \frac{52}{15} - \frac{7}{3} \cdot \frac{17}{5} & \frac{14}{15} - \frac{7}{3} \cdot \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{17}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & - \frac{26}{15} & - \frac{7}{15} \end{array}]$

خطوة 4.9.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{2}{5} & - \frac{67}{15} & - \frac{14}{15} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{5} & \frac{17}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5} & - \frac{26}{15} & - \frac{7}{15} \end{array}]$

خطوة 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{67}{15} & - \frac{14}{15} \\ - \frac{1}{5} & \frac{17}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{1}{5} & - \frac{26}{15} & - \frac{7}{15} \end{array}]$