الرياضيات المتناهية الأمثلة

$M [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 1

اضرب $M$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} M \cdot 3 & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $3$ إلى يسار $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.2

اضرب $M$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.3

اضرب $M$ في $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & M \cdot 5 \end{array}]$

خطوة 2.4

انقُل $5$ إلى يسار $M$ .

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & 5 M \end{array}]$

خطوة 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

خطوة 4

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 M (5 M) - M \cdot M$

خطوة 4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \cdot 5 M \cdot M - M \cdot M$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $M$ في $M$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

انقُل $M$ .

$3 \cdot 5 (M \cdot M) - M \cdot M$

خطوة 4.2.1.2.2

اضرب $M$ في $M$ .

$3 \cdot 5 M^{2} - M \cdot M$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $3$ في $5$ .

$15 M^{2} - M \cdot M$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $M$ في $M$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

انقُل $M$ .

$15 M^{2} - (M \cdot M)$

خطوة 4.2.1.4.2

اضرب $M$ في $M$ .

$15 M^{2} - M^{2}$

خطوة 4.2.2

اطرح $M^{2}$ من $15 M^{2}$ .

$14 M^{2}$

خطوة 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{14 M^{2}} [\begin{array}{c} 5 M & - M \\ - M & 3 M \end{array}]$

خطوة 7

اضرب $\frac{1}{14 M^{2}}$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14 M^{2}} (5 M) & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$[\begin{array}{c} 5 \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $M$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أخرِج العامل $M$ من $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.5

ألغِ العامل المشترك لـ $M$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{14 M^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.5.2

أخرِج العامل $M$ من $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.8

ألغِ العامل المشترك لـ $M$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{14 M^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.8.2

أخرِج العامل $M$ من $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

خطوة 8.10

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & 3 \frac{1}{14 M^{2}} M \end{array}]$

خطوة 8.11

اجمع $3$ و $\frac{1}{14 M^{2}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M^{2}} M \end{array}]$

خطوة 8.12

ألغِ العامل المشترك لـ $M$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.12.1

أخرِج العامل $M$ من $14 M^{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

خطوة 8.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

خطوة 8.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M} \end{array}]$