الرياضيات المتناهية الأمثلة

$[\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 0.1 & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 0.1 - λ & 0.9 + 0 \\ 0.4 + 0 & 0.6 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $0.9$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 0.1 - λ & 0.9 \\ 0.4 + 0 & 0.6 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $0.4$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 0.1 - λ & 0.9 \\ 0.4 & 0.6 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (0.1 - λ) (0.6 - λ) - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

وسّع $(0.1 - λ) (0.6 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0.1 (0.6 - λ) - λ (0.6 - λ) - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0.1 \cdot 0.6 + 0.1 (- λ) - λ (0.6 - λ) - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 0.1 \cdot 0.6 + 0.1 (- λ) - λ \cdot 0.6 - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

اضرب $0.1$ في $0.6$ .

$p (λ) = 0.06 + 0.1 (- λ) - λ \cdot 0.6 - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0.1$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - λ \cdot 0.6 - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.2.1.3

اضرب $0.6$ في $- 1$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - λ (- λ) - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ + 1 λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.1 λ - 0.6 λ + λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.2.2

اطرح $0.6 λ$ من $- 0.1 λ$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.7 λ + λ^{2} - 0.4 \cdot 0.9$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 0.4$ في $0.9$ .

$p (λ) = 0.06 - 0.7 λ + λ^{2} - 0.36$

خطوة 5.2.2

اطرح $0.36$ من $0.06$ .

$p (λ) = - 0.7 λ + λ^{2} - 0.3$

خطوة 5.2.3

أعِد ترتيب $- 0.7 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 0.7 λ - 0.3$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} - 0.7 λ - 0.3 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 0.7$ و $c = - 0.3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{0.7 \pm \sqrt{{(- 0.7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 0.3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ارفع $- 0.7$ إلى القوة $2$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{0.49 - 4 \cdot 1 \cdot - 0.3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 0.3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{0.49 - 4 \cdot - 0.3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 0.3$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{0.49 + 1.2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

أضف $0.49$ و $1.2$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{1.69}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4

أعِد كتابة $1.69$ بالصيغة ${1.3}^{2}$ .

$λ = \frac{0.7 \pm \sqrt{{1.3}^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$λ = \frac{0.7 \pm 1.3}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$λ = \frac{0.7 \pm 1.3}{2}$

خطوة 7.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = 1, - 0.3$