الرياضيات المتناهية الأمثلة

$[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} x & 4 \\ 3 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & 4 + 0 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $4$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $3$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} x - λ & 4 \\ 3 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (x - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

وسّع $(x - λ) (2 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = x (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = x \cdot 2 + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$p (λ) = 2 \cdot x + x (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 2 x - x λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.2.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.2.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.2.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.2.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.2.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 3$ في $4$ .

$p (λ) = 2 x - x λ - 2 λ + λ^{2} - 12$

خطوة 5.2.2

انقُل $- 2 λ$ .

$p (λ) = 2 x - x λ + λ^{2} - 2 λ - 12$

خطوة 5.2.3

انقُل $2 x$ .

$p (λ) = - x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$- x λ + λ^{2} + 2 x - 2 λ - 12 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - x - 2$ و $c = 2 x - 12$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $λ$ .

$\frac{- (- x - 2) \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 x - 12))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$λ = \frac{1 x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{{(- x - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4

أعِد كتابة ${(- x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(- x - 2) (- x - 2)$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{(- x - 2) (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5

وسّع $(- x - 2) (- x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x - 2) - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x - 2) - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.6.1.2.1

انقُل $x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6.1.4

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot - 2 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6.1.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x - 2 (- x) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6.1.6

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6.1.7

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 2 x + 2 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot 1 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.7

اضرب $- 4$ في $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 \cdot (2 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.8

طبّق خاصية التوزيع.

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.9

اضرب $2$ في $- 4$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.10

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.11

اطرح $8 x$ من $4 x$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 48}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.12

أضف $4$ و $48$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$λ = \frac{x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

خطوة 7.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 + \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$

$λ = \frac{x + 2 - \sqrt{x^{2} - 4 x + 52}}{2}$