الرياضيات المتناهية الأمثلة

\begin{matrix} x & P (x) 1 & 0.29 2 & 0.45 3 & 0.12 4 & 0.14 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.29 \\ 2 & 0.45 \\ 3 & 0.12 \\ 4 & 0.14 \end{array}$

خطوة 1

أثبِت أن الجدول المُعطى يستوفي الخاصيتين اللازمتين لتوزيع الاحتمالات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يأخذ المتغير العشوائي المنفصل

x

$x$ مجموعة من القيم المنفصلة (مثل

0

$0$ ، و

1

$1$ ، و

2

$2$ ...). يخصص توزيع احتمالاته احتمالاً

P (x)

$P (x)$ لكل قيمة ممكنة

x

$x$ . لكل

x

$x$ ، تقع الاحتمالية

P (x)

$P (x)$ بين

0

$0$ و

1

$1$ (مع شمول كليهما) ويكون مجموع الاحتمالات لجميع قيم

x

$x$ الممكنة يساوي

1

$1$ .

1. لكل

x

$x$ ،

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ .

P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1

$P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

خطوة 1.2

تقع

0.29

$0.29$ في النطاق الممتد من

0

$0$ إلى

1

$1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع

0.29

$0.29$ في النطاق الممتد من

0

$0$ إلى

1

$1$

خطوة 1.3

تقع

0.45

$0.45$ في النطاق الممتد من

0

$0$ إلى

1

$1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع

0.45

$0.45$ في النطاق الممتد من

0

$0$ إلى

1

$1$

خطوة 1.4

تقع

0.12

$0.12$ في النطاق الممتد من

0

$0$ إلى

1

$1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع

0.12

$0.12$ في النطاق الممتد من

0

$0$ إلى

1

$1$

خطوة 1.5

تقع

0.14

$0.14$ في النطاق الممتد من

0

$0$ إلى

1

$1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع

0.14

$0.14$ في النطاق الممتد من

0

$0$ إلى

1

$1$

خطوة 1.6

بالنسبة إلى كل

x

$x$ ، تقع الاحتمالية

P (x)

$P (x)$ في نطاق الأعداد بين

0

$0$ و

1

$1$ بما في ذلك كلاهما، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ لجميع قيم x

خطوة 1.7

أوجِد مجموع الاحتمالات لجميع قيم

x

$x$ الممكنة.

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14$

خطوة 1.8

مجموع الاحتمالات لجميع قيم

x

$x$ الممكنة هو

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف

0.29

$0.29$ و

0.45

$0.45$ .

0.74 + 0.12 + 0.14

$0.74 + 0.12 + 0.14$

خطوة 1.8.2

أضف

0.74

$0.74$ و

0.12

$0.12$ .

0.86 + 0.14

$0.86 + 0.14$

خطوة 1.8.3

أضف

0.86

$0.86$ و

0.14

$0.14$ .

1

$1$

1

$1$

خطوة 1.9

بالنسبة إلى كل

x

$x$ ، تقع الاحتمالية

P (x)

$P (x)$ في نطاق الأعداد بين

0

$0$ و

1

$1$ بما في ذلك كلاهما. وبالإضافة إلى ذلك، فإن مجموع الاحتمالات لجميع قيم

x

$x$ المحتملة يساوي

1

$1$ ، ما يعني أن الجدول يستوفي خاصيتَي توزيع الاحتمالات.

يستوفي الجدول خاصيتَي توزيع الاحتمالات:

خاصية 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ لجميع قيم

x

$x$

خاصية 2:

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$

يستوفي الجدول خاصيتَي توزيع الاحتمالات:

خاصية 1:

0 \leq P (x) \leq 1

$0 \leq P (x) \leq 1$ لجميع قيم

x

$x$

خاصية 2:

0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1

$0.29 + 0.45 + 0.12 + 0.14 = 1$

خطوة 2

يُقصد بمتوسط القيمة المتوقعة للتوزيع القيمة المتوقعة في حال استطاعت تجارب التوزيع الاستمرار إلى ما لا نهاية. ويساوي ذلك حاصل ضرب كل قيمة في احتماليتها المنفصلة.

1 \cdot 0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$1 \cdot 0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب

0.29

$0.29$ في

1

$1$ .

0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 2 \cdot 0.45 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

خطوة 3.2

اضرب

2

$2$ في

0.45

$0.45$ .

0.29 + 0.9 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 0.9 + 3 \cdot 0.12 + 4 \cdot 0.14$

خطوة 3.3

اضرب

3

$3$ في

0.12

$0.12$ .

0.29 + 0.9 + 0.36 + 4 \cdot 0.14

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 4 \cdot 0.14$

خطوة 3.4

اضرب

4

$4$ في

0.14

$0.14$ .

0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56$

0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56

$0.29 + 0.9 + 0.36 + 0.56$

خطوة 4

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف

0.29

$0.29$ و

0.9

$0.9$ .

1.19 + 0.36 + 0.56

$1.19 + 0.36 + 0.56$

خطوة 4.2

أضف

1.19

$1.19$ و

0.36

$0.36$ .

1.55 + 0.56

$1.55 + 0.56$

خطوة 4.3

أضف

1.55

$1.55$ و

0.56

$0.56$ .

2.11

$2.11$

2.11

$2.11$

خطوة 5

الانحراف المعياري للتوزيع هو أحد مقاييس التشتت ويساوي الجذر التربيعي للتباين.

s = \sqrt{\sum {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}

$s = \sqrt{\sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))}$

خطوة 6

املأ القيم المعروفة.

\sqrt{{(1 - (2.11))}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(1 - (2.11))}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب

- 1

$- 1$ في

2.11

$2.11$ .

\sqrt{{(1 - 2.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(1 - 2.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.2

اطرح

2.11

$2.11$ من

1

$1$ .

\sqrt{{(- 1.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{{(- 1.11)}^{2} \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.3

ارفع

- 1.11

$- 1.11$ إلى القوة

2

$2$ .

\sqrt{1.2321 \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}

$\sqrt{1.2321 \cdot 0.29 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.4

اضرب

$1.2321$ في

$0.29$ .

$\sqrt{0.357309 + {(2 - (2.11))}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.5

اضرب

$- 1$ في

$2.11$ .

$\sqrt{0.357309 + {(2 - 2.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.6

اطرح

$2.11$ من

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + {(- 0.11)}^{2} \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.7

ارفع

$- 0.11$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.0121 \cdot 0.45 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.8

اضرب

$0.0121$ في

$0.45$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - (2.11))}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.9

اضرب

$- 1$ في

$2.11$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {(3 - 2.11)}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.10

اطرح

$2.11$ من

$3$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + {0.89}^{2} \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.11

ارفع

$0.89$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.7921 \cdot 0.12 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.12

اضرب

$0.7921$ في

$0.12$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - (2.11))}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.13

اضرب

$- 1$ في

$2.11$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {(4 - 2.11)}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.14

اطرح

$2.11$ من

$4$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + {1.89}^{2} \cdot 0.14}$

خطوة 7.15

ارفع

$1.89$ إلى القوة

$2$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 3.5721 \cdot 0.14}$

خطوة 7.16

اضرب

$3.5721$ في

$0.14$ .

$\sqrt{0.357309 + 0.005445 + 0.095052 + 0.500094}$

خطوة 7.17

أضف

$0.357309$ و

$0.005445$ .

$\sqrt{0.362754 + 0.095052 + 0.500094}$

خطوة 7.18

أضف

$0.362754$ و

$0.095052$ .

$\sqrt{0.457806 + 0.500094}$

خطوة 7.19

أضف

$0.457806$ و

$0.500094$ .

$\sqrt{0.9579}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\sqrt{0.9579}$

الصيغة العشرية:

$0.97872365 \dots$