الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 1 & 0.3 \\ 3 & 0.1 \\ 0 & 0.2 \\ 2 & 0.3 \\ 4 & 0.1 \end{array}$

خطوة 1

أثبِت أن الجدول المُعطى يستوفي الخاصيتين اللازمتين لتوزيع الاحتمالات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

يأخذ المتغير العشوائي المنفصل $x$ مجموعة من القيم المنفصلة (مثل $0$ ، و $1$ ، و $2$ ...). يخصص توزيع احتمالاته احتمالاً $P (x)$ لكل قيمة ممكنة $x$ . لكل $x$ ، تقع الاحتمالية $P (x)$ بين $0$ و $1$ (مع شمول كليهما) ويكون مجموع الاحتمالات لجميع قيم $x$ الممكنة يساوي $1$ .

1. لكل $x$ ، $0 \leq P (x) \leq 1$ .

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

خطوة 1.2

تقع $0.3$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.3$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.3

تقع $0.1$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.1$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.4

تقع $0.2$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.2$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.5

تقع $0.3$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.3$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.6

تقع $0.1$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$ ، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

تقع $0.1$ في النطاق الممتد من $0$ إلى $1$

خطوة 1.7

بالنسبة إلى كل $x$ ، تقع الاحتمالية $P (x)$ في نطاق الأعداد بين $0$ و $1$ بما في ذلك كلاهما، وهذا يتوافق مع الخاصية الأولى لتوزيع الاحتمالات.

$0 \leq P (x) \leq 1$ لجميع قيم x

خطوة 1.8

أوجِد مجموع الاحتمالات لجميع قيم $x$ الممكنة.

$0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

خطوة 1.9

مجموع الاحتمالات لجميع قيم $x$ الممكنة هو $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.9.1

أضف $0.3$ و $0.1$ .

$0.4 + 0.2 + 0.3 + 0.1$

خطوة 1.9.2

أضف $0.4$ و $0.2$ .

$0.6 + 0.3 + 0.1$

خطوة 1.9.3

أضف $0.6$ و $0.3$ .

$0.9 + 0.1$

خطوة 1.9.4

أضف $0.9$ و $0.1$ .

$1$

خطوة 1.10

بالنسبة إلى كل $x$ ، تقع الاحتمالية $P (x)$ في نطاق الأعداد بين $0$ و $1$ بما في ذلك كلاهما. وبالإضافة إلى ذلك، فإن مجموع الاحتمالات لجميع قيم $x$ المحتملة يساوي $1$ ، ما يعني أن الجدول يستوفي خاصيتَي توزيع الاحتمالات.

يستوفي الجدول خاصيتَي توزيع الاحتمالات:

خاصية 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ لجميع قيم $x$

خاصية 2: $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

يستوفي الجدول خاصيتَي توزيع الاحتمالات:

خاصية 1: $0 \leq P (x) \leq 1$ لجميع قيم $x$

خاصية 2: $0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 = 1$

خطوة 2

يُقصد بمتوسط القيمة المتوقعة للتوزيع القيمة المتوقعة في حال استطاعت تجارب التوزيع الاستمرار إلى ما لا نهاية. ويساوي ذلك حاصل ضرب كل قيمة في احتماليتها المنفصلة.

$u = 1 \cdot 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

خطوة 3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $0.3$ في $1$ .

$u = 0.3 + 3 \cdot 0.1 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

خطوة 3.2

اضرب $3$ في $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 \cdot 0.2 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

خطوة 3.3

اضرب $0$ في $0.2$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $0.3$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 4 \cdot 0.1$

خطوة 3.5

اضرب $4$ في $0.1$ .

$u = 0.3 + 0.3 + 0 + 0.6 + 0.4$

خطوة 4

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أضف $0.3$ و $0.3$ .

$u = 0.6 + 0 + 0.6 + 0.4$

خطوة 4.2

أضف $0.6$ و $0$ .

$u = 0.6 + 0.6 + 0.4$

خطوة 4.3

أضف $0.6$ و $0.6$ .

$u = 1.2 + 0.4$

خطوة 4.4

أضف $1.2$ و $0.4$ .

$u = 1.6$

خطوة 5

تباين التوزيع هو أحد مقاييس التشتت ويساوي مربع الانحراف المعياري.

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

خطوة 6

املأ القيم المعروفة.

${(1 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب $- 1$ في $1.6$ .

${(1 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.2

اطرح $1.6$ من $1$ .

${(- 0.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.3

ارفع $- 0.6$ إلى القوة $2$ .

$0.36 \cdot 0.3 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.4

اضرب $0.36$ في $0.3$ .

$0.108 + {(3 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.5

اضرب $- 1$ في $1.6$ .

$0.108 + {(3 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.6

اطرح $1.6$ من $3$ .

$0.108 + {1.4}^{2} \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.7

ارفع $1.4$ إلى القوة $2$ .

$0.108 + 1.96 \cdot 0.1 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.8

اضرب $1.96$ في $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - (1.6))}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.9

اضرب $- 1$ في $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + {(0 - 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.10

اطرح $1.6$ من $0$ .

$0.108 + 0.196 + {(- 1.6)}^{2} \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.11

ارفع $- 1.6$ إلى القوة $2$ .

$0.108 + 0.196 + 2.56 \cdot 0.2 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.12

اضرب $2.56$ في $0.2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - (1.6))}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.13

اضرب $- 1$ في $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {(2 - 1.6)}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.14

اطرح $1.6$ من $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + {0.4}^{2} \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.15

ارفع $0.4$ إلى القوة $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.16 \cdot 0.3 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.16

اضرب $0.16$ في $0.3$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - (1.6))}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.17

اضرب $- 1$ في $1.6$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {(4 - 1.6)}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.18

اطرح $1.6$ من $4$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + {2.4}^{2} \cdot 0.1$

خطوة 7.1.19

ارفع $2.4$ إلى القوة $2$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 5.76 \cdot 0.1$

خطوة 7.1.20

اضرب $5.76$ في $0.1$ .

$0.108 + 0.196 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

خطوة 7.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أضف $0.108$ و $0.196$ .

$0.304 + 0.512 + 0.048 + 0.576$

خطوة 7.2.2

أضف $0.304$ و $0.512$ .

$0.816 + 0.048 + 0.576$

خطوة 7.2.3

أضف $0.816$ و $0.048$ .

$0.864 + 0.576$

خطوة 7.2.4

أضف $0.864$ و $0.576$ .

$1.44$