الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 90 - 99 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 70 - 79 & 4 \\ 60 - 69 & 3 \\ 50 - 59 & 2 \\ 40 - 49 & 1 \end{array}$

خطوة 1

أعِد ترتيب الفئات بتكراراتها ذات الصلة تصاعديًا (من العدد الأصغر إلى الأكبر)، وهو الترتيب الأكثر شيوعًا.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

خطوة 2

أوجِد نقطة المنتصف $M$ لكل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

النهاية الدنيا لكل فئة هي أصغر قيمة في تلك الفئة. وفي المقابل، تُعد النهاية العليا لكل فئة أكبر قيمة في تلك الفئة.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 \end{array}$

خطوة 2.2

نقطة منتصف الفئة تساوي ناتج جمع الحد الأدنى للفئة مع الحد الأعلى للفئة وقسمته على $2$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & \frac{40 + 49}{2} \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & \frac{50 + 59}{2} \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & \frac{60 + 69}{2} \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & \frac{70 + 79}{2} \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & \frac{80 + 89}{2} \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & \frac{90 + 99}{2} \end{array}$

خطوة 2.3

بسّط كل أعمدة نقطة المنتصف.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 40 & 49 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 50 & 59 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 60 & 69 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 70 & 79 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 80 & 89 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 90 & 99 & 94.5 \end{array}$

خطوة 2.4

أضف عمود نقاط المنتصف إلى الجدول الأصلي.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

خطوة 3

احسب مربع كل نقطة وسط في المجموعة $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & {44.5}^{2} \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & {54.5}^{2} \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & {64.5}^{2} \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & {74.5}^{2} \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & {84.5}^{2} \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & {94.5}^{2} \end{array}$

خطوة 4

بسّط العمود $M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 \end{array}$

خطوة 5

اضرب كل نقطة منتصف مربعة في عدد مرات تكرارها $f$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1 \cdot 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 2 \cdot 2970.25 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 3 \cdot 4160.25 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 4 \cdot 5550.25 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 6 \cdot 7140.25 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 4 \cdot 8930.25 \end{array}$

خطوة 6

بسّط العمود $f \cdot M^{2}$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1980.25 & 1980.25 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2970.25 & 5940.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 4160.25 & 12480.75 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 5550.25 & 22201 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 7140.25 & 42841.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 8930.25 & 35721 \end{array}$

خطوة 7

أوجِد مجموع كل التكرارات. في هذه الحالة، يمثل مجموع كل التكرارات $n = 1, 2, 3, 4, 6, 4 = 20$ .

$\sum_{}^{} f = n = 20$

خطوة 8

أوجِد مجموع العمود $f \cdot M^{2}$ . في هذه الحالة، $1980.25 + 5940.5 + 12480.75 + 22201 + 42841.5 + 35721 = 121165$ .

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 121165$

خطوة 9

أوجِد متوسط $μ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

Reorder the classes with their related frequencies (ƒ) in an ascending order (lowest number to highest), which is the most common.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) \\ 40 - 49 & 1 \\ 50 - 59 & 2 \\ 60 - 69 & 3 \\ 70 - 79 & 4 \\ 80 - 89 & 6 \\ 90 - 99 & 4 \end{array}$

خطوة 9.2

أوجِد نقطة المنتصف $M$ لكل فئة.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 \end{array}$

خطوة 9.3

اضرب تكرار كل فئة في نقطة منتصف الفئة.

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 1 \cdot 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 2 \cdot 54.5 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 3 \cdot 64.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 4 \cdot 74.5 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 6 \cdot 84.5 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 4 \cdot 94.5 \end{array}$

خطوة 9.4

بسّط العمود $f \cdot M$ .

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 40 - 49 & 1 & 44.5 & 44.5 \\ 50 - 59 & 2 & 54.5 & 109 \\ 60 - 69 & 3 & 64.5 & 193.5 \\ 70 - 79 & 4 & 74.5 & 298 \\ 80 - 89 & 6 & 84.5 & 507 \\ 90 - 99 & 4 & 94.5 & 378 \end{array}$

خطوة 9.5

اجمع القيم الموجودة في العمود $f \cdot M$ .

$44.5 + 109 + 193.5 + 298 + 507 + 378 = 1530$

خطوة 9.6

اجمع القيم الموجودة في عمود التكرار.

$n = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 4 = 20$

خطوة 9.7

المتوسط (mu) يساوي مجموع $f \cdot M$ مقسومًا على $n$ ، والذي يمثل مجموع التكرارات.

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

خطوة 9.8

المتوسط يساوي مجموع حواصل ضرب نقاط المنتصف في التكرارات مقسومًا على مجموع التكرارات.

$μ = \frac{1530}{20}$

خطوة 9.9

بسّط الطرف الأيمن لـ $μ = \frac{1530}{20}$ .

$76.5$

خطوة 10

معادلة الانحراف المعياري هي $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

خطوة 11

عوّض بالقيم المحسوبة في $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ .

$S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$

خطوة 12

بسّط الطرف الأيمن لـ $S^{2} = \frac{121165 - 20 {(76.5)}^{2}}{20 - 1}$ لإيجاد التباين $S^{2} = 216.84210526$ .

$216.84210526$