الرياضيات المتناهية الأمثلة

[\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم

$2$ هي المصفوفة المربعة

$2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة

$A$ التي تساوي

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة

$I_{2}$ التي تساوي

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب

$- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب

$0$ في

$λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب

$- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب

$0$ في

$- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب

$0$ في

$λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب

$- 1$ في

$1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف

$- 5$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف

$2$ و

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & 0 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.3

اطرح

$λ$ من

$0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة

$2 \times 2$ باستخدام القاعدة

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ) - 2 \cdot - 5$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = - 3 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.2

اضرب

$- 1$ في

$- 3$ .

$p (λ) = 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1

اضرب

$λ$ في

$λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.4.1.1

انقُل

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.4.1.2

اضرب

$λ$ في

$λ$ .

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.4.2

اضرب

$- 1$ في

$- 1$ .

$p (λ) = 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.4.3

اضرب

$λ^{2}$ في

$1$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 5$

خطوة 5.2.1.5

اضرب

$- 2$ في

$- 5$ .

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} + 10$

خطوة 5.2.2

أعِد ترتيب

$3 λ$ و

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} + 3 λ + 10$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ

$0$ لإيجاد القيم الذاتية

$λ$ .

$λ^{2} + 3 λ + 10 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة

$λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم

$a = 1$ و

$b = 3$ و

$c = 10$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة

$λ$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ارفع

$3$ إلى القوة

$2$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب

$- 4$ في

$1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب

$- 4$ في

$10$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

اطرح

$40$ من

$9$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4

أعِد كتابة

$- 31$ بالصيغة

$- 1 (31)$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5

أعِد كتابة

$\sqrt{- 1 (31)}$ بالصيغة

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ .

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6

أعِد كتابة

$\sqrt{- 1}$ بالصيغة

$i$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب

$2$ في

$1$ .

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

خطوة 7.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$λ = - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$