الرياضيات المتناهية الأمثلة

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & - 10 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}]$

خطوة 1

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

خطوة 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

خطوة 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 10 \\ 0 & 5 \end{array} |$

خطوة 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 10 \\ 0 & 5 \end{array} |$

خطوة 1.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 5 \\ 0 & 5 \end{array} |$

خطوة 1.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 5 \\ 0 & 5 \end{array} |$

خطوة 1.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 5 \\ 1 & - 10 \end{array} |$

خطوة 1.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 5 \\ 1 & - 10 \end{array} |$

خطوة 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 10 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 5 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 5 \\ 1 & - 10 \end{array} |$

خطوة 1.2

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & 5 \\ 0 & 5 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 10 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 5 \\ 1 & - 10 \end{array} |$

خطوة 1.3

اضرب $0$ في $| \begin{array}{c} 0 & 5 \\ 1 & - 10 \end{array} |$ .

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 10 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 + 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $| \begin{array}{c} 1 & - 10 \\ 0 & 5 \end{array} |$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (1 \cdot 5 + 0 \cdot - 10) + 0 + 0$

خطوة 1.4.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

اضرب $5$ في $1$ .

$1 (5 + 0 \cdot - 10) + 0 + 0$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب $0$ في $- 10$ .

$1 (5 + 0) + 0 + 0$

خطوة 1.4.2.2

أضف $5$ و $0$ .

$1 \cdot 5 + 0 + 0$

خطوة 1.5

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $5$ في $1$ .

$5 + 0 + 0$

خطوة 1.5.2

أضف $5$ و $0$ .

$5 + 0$

خطوة 1.5.3

أضف $5$ و $0$ .

$5$

خطوة 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

خطوة 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 10 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 4

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 10 & 0 & 1 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{1}{5} \end{array}]$

خطوة 4.1.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 10 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{array}]$

خطوة 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 10 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & 1 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & 0 + 10 \cdot 0 & 1 + 10 \cdot 0 & 0 + 10 (\frac{1}{5}) \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{array}]$

خطوة 4.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{array}]$

خطوة 4.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 5 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 5 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 \cdot 0 & 0 - 5 (\frac{1}{5}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{array}]$

خطوة 4.3.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{array}]$

خطوة 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{array}]$