حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{3} + 8$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{3} + 8$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 2.1.4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

خطوة 3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$3 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.1.3

اضرب $\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$ في $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 5.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 5.2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 5.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + 8$ .

$2 {(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$