حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

خطوة 3.2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $e^{x} \cos (x)$ و $- \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.4.1.2

اطرح $e^{x} \cos (x)$ من $e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.4.1.3

أضف $e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ و $0$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.4.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.4.3

اطرح $\sin (x) e^{x}$ من $- e^{x} \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.3.1

انقُل $\sin (x)$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.4.3.2

اطرح $e^{x} \sin (x)$ من $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.5

احذِف العامل المشترك لـ $e^{x}$ و $e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.5.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $- 2 e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

خطوة 3.6.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.5.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 3.6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

خطوة 3.6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

خطوة 3.6.5.2.4

اقسِم $- 2 e^{- x} \sin (x)$ على $1$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$